Четырёх угольник авсд вписан в окружность радиуса 8. известно ав=вс=сд=12. доказать. что вс и ад параллельны. найти ад. указание. возможно понадобится найти синус 3х. его можно найти через сумму синусов х и 2х.

1) Т.к. углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Тогда треугольники DCB и ABC равны по стороне и 2-м углам(AC общая, а углы CDB=DBC=CAB=BAC т.к. треугольники DCB и ABC равнобедренные и углы CDB=CAB см. выше). Треугольники DCA и ABD равны по тому же принципу. В итоге треугольники CTB и DTA равнобедренные, а т.к. углы CTB и DTA вертикальные, то углы TDA и TBC равны, а это признак параллельности прямых, тогда CB || AD.

2) Пусть ACB=α. По формуле радиуса описанной окружности , тогда . Угол DCA=180-3α. По теореме синусов имеем . Теперь подставляем значение sinα=3/4 и вычисляем. У меня получилось

Пусть вершины M, N, K и L ромба MNKL расположены соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD, а стороны MN и KN ромба соответственно параллельны диагоналям AC и BD параллелограмма, причём = k.
 Если — угол между диагоналями параллелограмма, то
SABCD = AC . BD sin, SKLMN = MN . KN sin = MN2sin,
поэтому
  = .
 Заметим, что центр ромба совпадает с центром O параллелограмма. Поскольку ON — биссектриса треугольника BOC, то = = ,
значит, = = .
 Из подобия треугольников BMN и BAC находим, что MN = AC .
= .
 Следовательно,
= = = 2 . . = .
вместо к подставь 31
 

Пусть АВСD - данный параллелограмм. Его диагонали пересекаются в точке О. Точка К принадлежит АВ, L - ВС, М - СD, N - AD, причем KL||NM||AC, KN||LM||BD. Пусть АС>BD, тогда BD=x, AC=36х. Сторону ромба обозначим y. Рассмотрим треугольники АВС и КВL. Они подобны (угол BKL=угол ВАС, т. к. они соответственные при пересечении параллельных прямых KL и AC секущей АВ; угол BLК=угол ВСА, т. к. они соответственные при пересечении параллельных прямых KL и AC секущей ВС; угол В - общий) , отсюда КВ/АВ=KL/AC => КВ/АВ=y/(36x) => КВ=[y/(36x)]*АВ. Рассмотрим треугольники ВAD и КAN. Они подобны (угол AKN=угол АBD, т. к. они соответственные при пересечении параллельных прямых KN и BD секущей АВ; угол ANК=угол ADВ, т. к. они соответственные при пересечении параллельных прямых KN и BD секущей AD; угол A - общий) , отсюда AК/АВ=KN/BD => AК/АВ=y/x => AК=(y/x)*АВ=AB-KB=AB-[y/(36x)]*АВ=AB*[1-y/(36x)] => y/x=1-y/(36x) => y=36x/37. Т. к. KL||AC, KN||BD, то KPOT - параллелограмм (точка Р образована перечением KL и BD, точка Т образована пересечением KN и AC). У параллелограмма противоположные углы равны, т. е. угол АОВ=угол LKN=альфа. Sромба/Sпар-ма=KL^2*sinLKN/[(1/2)*AC*BD*sinАОВ] =(36x/37)^2*sin(альфа) /[(1/2)*36x*x*sin(альфа)] =36*2/37^2=72/1369.