Разобраться с . радиус окружности, описанной около треугольника равна 5. может ли периметр этого треугольника быть равен 30?

пусть углы треугольника α ; β ;ω  , а стороны a ,b c  , тогда Р=2R·sinα+2R·sinβ+ 2R·sinω= 2R( sinα+sinβ +sinω) ≤ 10·3=30 , причем равенство достигается , если все синусы равны 1 , но это означает, что у треугольника 3 прямых угла , чего быть не может ⇒ периметр не может быть равен 30 ( всегда меньше при данных условиях)

объясняю популярно и "на пальцах"   (смотри рисунок в файле)

по основному св-ву треугольника (треугольник может быть и тупоугольным, все равно получается так же) имеем

а<5+5

b<5+5

c<5+5

складываем , получаем

a+b+c<30, т.е периметр всегда меньше 30.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

ABCD — параллелограмм, если

AB ∥ CD, AD ∥ BC.

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

это могут быть пары треугольников

1) ABC и CDA,

2) BCD и DAB,

3) AOD и COB,

4) AOB и COD.

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

4) Четырехугольник — параллелограмм, если у него противоположные стороны попарно равны.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

А1С1 – диагональ квадрата со стороной, равной 6 см

Формула диагонали квадрата d=a√2 ⇒ 

A1C1=6√2 

B1D1=A1C1=6√2

Проведем в боковых гранях диагонали AD1 и АВ1 

Боковые ребра параллелепипеда равны, основание – квадрат по условию ⇒ 

треугольник В1АD1 равнобедренный, т.к. диагонали равных граней равны.  Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. OB1=OD1=3√2

О - центр А1С1. ⇒

 АО - медиана   ∆ D1AB1. По т.Пифагора из треугольника АОВ1 найдем длину искомого  отрезка

 АО=√(AB1*-ОВ1*)=√(100-18)=√82