Дана равнобедренная трапеция abcd. высота, проведенный из основая bc к большему основанию ad, делит это основание на два отрезка равные 5см и 12см.найдите среднюю линию трапеции

средняя линия трапеции равна 12 см

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник (свойство) => ВС=ВF=5.

AD=BC=5 (противоположные стороны параллелограмма). KD= КА+AD=4+5 = 9.

Треугольники KAF и KDC подобны (так как AF параллельна DC). Из подобия: KD/KA=CD/AF.

CD=AB, AF=x, CD=5+x. Тогда 9/4=(5+x)/x. =>

х = 4. АВ=CD=4+5=9.

Или так:

КА параллельна ВС => <CKA=<BCK как накрест лежащие. <KFA=<BFC (вертикальные)=<BCF =>

Треугольник KAF равнобедренный и AF=КА=4.

АВ=CD=5+4=9.

ответ: АВ=CD = 9. BC=AD=5.

Проведем АН - биссектрису угла А.  Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника),  <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем  КН параллельно АС.  

KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:  

КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).  

Итак, DM= BH*Cosα.   В треугольнике АВН по теореме синусов:

BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α.  => AB=BH*Sin2α/Sinα.

Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα  =>

АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.

DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2.  => DM=2AB, что и требовалось доказать.