Знайдіть сторону ав трикутника авс, якщо ас=2 корня із 3, вс=6, кут с=30
Ответы
1) Дана трапеция АВСД. ВС+АД = 9, АС = 5, ВД = √34.
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
a) Параллельные отсекают от угла подобные треугольники.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
MBN~ABC, MN/AC=1/2, S(MBN)= 1/4 S(ABC)
EBF~ABC, EB/AB=1/3, S(EBF)= 1/9 S(ABC)
S(MEFN) =S(MBN)-S(EBF) =(1/4 -1/9)S(ABC) =5/36 S(ABC)
б) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.
S(DBK)/S(ABC) =DB*BK/AB*BC =DB/AB *BK/BC =1/3 *4/7 =4/21
S(KCM)/S(BCA) =KC*CM/BC*CA =3/7 *1/4 =3/28
S(MAD)/S(CAB) =MA*AD/CA*AB =3/4 *2/3 =1/2
S(DKM) =S(ABC)-S(DBK)-S(KCM)-S(MAD) =
(1 -4/21 -3/28 -1/2)S(ABC) =(84-16-9-42)/84 *S(ABC) =17/84 S(ABC)
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
AB=