Точка соприкосновения вписанной окружности делит боковую сторону равносторонней трапеции на отрезки длиной 9 см и 16 см. найдите радиус окружности и площадь трапеции

 Стороны трапеции – касательные к вписанной окружности. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны ⇒ АВ=CD=9+16=25 см; AD=16+16=32 см; ВС=18 см.

   Высота равнобедренной трапеции, проведенная из тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований. ⇒ АН=(32-18):2=7 см. Высота ВН, найденная по т.Пифагора, равна 24 см.

  Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен её высоте. d=24⇒ r=24:2=12 см.

  Площадь трапеции равна  произведению ее высоты на полусумму оснований. S(ABCD)=24•(9+16)=600 см²

1. Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к прямой. Наклонные к прямой и этот перпендикуляр образуют два прямоугольных треугольника. с гипотенузами, равными 13см и 15см и катетами, равными Х и Х+4. Второй катет - искомое расстояние - общий. Тогда по Пифагору можем написать: 13²-х² = 15²-(х+4)².  Отсюда х=5см. Искомое расстояние равно: √(169-25) = 12 см.

2. Так как диагональ АС равнобокой трапеции АВСD образует с боковой стороной CD угол АСD, равный 90°, то большее основание трапеции AD  является диаметром описанной окружности и равно 2R. В прямоугольном треугольнике ACD: Sinα = CD/AD => CD=2R*Sinα, а AC=2R*Cosα. Высота трапеции СН - это высота треугольника ACD, опущенная из прямого угла и по свойству этой высоты, равна: АС*СD/AD или СН=4R²Sinα*Cosα/2R = 2RSinα*Cosα. Но по формуле приведения 2Sinα*Cosα =Sin2α. Тогда ответ:

СН = RSin2α.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а боковые грани  — равные равнобедренные треугольники.

Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД=3√2), боковые ребра SА=SВ=SС=SД=5. Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO- это высота пирамиды.

Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани (равнобедренного ΔSАВ), она же и медиана, и биссектриса.

SК=√(SA²-AK²)=√(5²-(3√2/2)²)=√(25-4,5)=√20,5

Из прямоугольного ΔSKО: 

SО=√(SК²-OK²)=√((√20,5)²-(3√2/2)²)=√20,5-4,5=√16=4

Площадь основания Sосн=АВ²=3√2²=18

Периметр основания Р=4АВ=4*3√2=12√2

Площадь боковой поверхности 

Sбок=P*SK/2=12√2*√20,5 /2=6√41

Площадь полной поверхности 

Sполн=Sбок+Sосн=6√41+18

Объем

V=Sосн*SO/3=18*4/3=24

Подробнее - на -