Через вершину с прямоугольника abcd проведена прямая, параллельная диагонали bd и пересекающая прямую ad в точке k. через точку к проведена прямая, параллельная диагонали ас и пересекающая прямую сd в точке е. найдите диагональ прямоугольника, если периметр четырехугольника acke равен 24 см.

Чертеж смотри на фотке. Получается, что получившийся четырёхугольник - ромб, со стороной, равной диагонали АС прямоугольника АВСD. И, зная, что периметр ромба (четырехугольника АСКЕ) равна 24см, можем нати одну из его, ромба, сторон, и равна она будет 6 см. То есть диагональ прямоугольника равна 6 см.

 Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.

 Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный

1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).

2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно.
 Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин.
 В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии):
 BO=CO
OM=OH

Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты:
BM = CH, чтд.

Всё!

h=4,8 см

Объяснение:

1. диагонали ромба  AC и BD

AC_|_BD

AC∩BD=O, AO=OC, BO=OD

2. пусть х, (x>0) -коэффициент пропорциональности ,тогда АС=4х см, ВD=3 х см

S ромба =(AC*BD)/2

24=(4x*3x)/2

6x²=24, x²=4, x=2 (x>0)

3.  рассмотрим прямоугольный треугольник:

катет АО=(4*2)/2 - (1/2) АС, АО=4 см

катет ВО=(3*2)/2 -(1/2)BD, BO=3 см

гипотенуза АВ - сторона ромба, найти по теореме Пифагора:

AB²=AO²+BO²

AB²=4²+3², AB=5 см (или : катеты 4 и 3, => гипотенуза 5 -Пифагоров треугольник)

S ромба=AB*h, h - высота ромба

24=5*h

h=4,8