Разность двух углов равна 178°. докажите что эти углы не могут быть вертикальными.

Вертикальные углы имеют одну общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого. Вертикальные углы равны, а их разность равна нулю. Значит, если разность двух углов 178 градусов, они не могут быть вертикальными.

1) 

О- центр окружности ⇒ середина  АВ, Q - середина СD. 

ОQ соединяет середины боковых сторон трапеции ⇒ 

OQ как средняя линия трапеции параллельна АD. 

Т.к. трапеция равнобедренная, АО=DQ 

Углы при основании равнобедренной трапеции равны,  АО=НО ( радиусы), треугольник АОН - равнобедренный,∠ОНА=∠ОАН и равен углу QDH. Соответственные углы при пересечении прямых ОН и QD секущей АD равны, следовательно. ОН||QD.

Противоположные стороны четырёхугольника DQOH попарно параллельны, следовательно, DQOH — параллелограмм.

2) 

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в т.М. Углы при основании равнобедренной трапеции равны. Следовательно, 

                   угол АМD=180°-2•75°=30°

Проведем ОК в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  

                     ∠ МКО=90°

В прямоугольном ∆ МОК катет ОК противолежит углу 30°, ⇒

 гипотенуза МО=2ОК.  Т.к. ОК=ОВ=R, МО=2 R. 

Тогда MA=3R .

BC║OQ║AD ⇒ ∆BMC~∆ AMD. k=AM:BM=3 ⇒

AD=3BC=3 (ед. длины)

Дан прямоугольник ABCD, ∠CAD:∠CAB=4:5.

Углы прямоугольник равны по 90°.

Пусть ∠CAD=4x, тогда ∠CAB=5x.

∠CAD+∠CAB=∠DAB

4x+5x=9x=90°

x=90°:9=10°

∠CAD=4x=40°

Диагонали в прямоугольнике делятся точкой пересечения пополам.

Пусть AC∩BD=O, тогда AO=DO

В равнобедренном ΔAOD (O-вершина) углы при основании равны. ∠ODA=∠OAD=40°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Откуда ∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=180°-40°-40°=100°

∠AOD>90° ⇒ угол между диагоналями это ∠AOB, смежный с ∠AOD.

∠AOB=180°-∠AOD=180°-100°=80° по свойству смежных углов.

ответ: 80.