:апофема прав треугольной пирамиды = l, а двугранный угол при ребре основания - a(альфа), найти боковую поверхность пирамиды.

Треугольник ABC правельный, тогда за теоремой синусов AB/sin90=AC/sina=BC/sin(180-(90+a))

отсюда высота h= (l*sin90)/sina sin90=1  l/sina

h=r

r=a*/3

сторона = l*

S=(l**3*1/2*l)/sina

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.
Рассмотрим рисунок, данный в приложении. 
Как равные отрезки из одной точки, ВК=ВЕ=5 см
АК=АН=1 см
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, радиус и касательная - перпендикулярны, ⇒ точка касания окружности и основания треугольника - основание высоты, которая в равнобедренном треугольнике еще и биссектриса и медиана.
Следовательно,  НС=НА=СЕ=1
Периметр треугольника равен сумме отрезков, на которые окружность в точках касания делит его стороны. 
Р=10+4=14 см

Дано: ABCD  ромб ; BD =30 ; AC =40 ; AK ⊥ (ABCD) ; AK= 10 .

d( K , CD) = d( K , BC) - ?

Проведем  из вершины A  высоту ромба :  AH  ⊥ CD  (AH = h) и соединим  точка H с точкой K . KH -наклонная  , AH ее проекция на  плоскости  ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD  ⊥  KH ,т.е.  KH есть расстояние от точки   K до  стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).

Сторона  ромба равно  a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² = 
 (1/2)*√ ( 30² +40)²  =(1/2)*50=25. 
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны  S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH  ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.

ответ :   26.