Даны вертикальные углы углы abc и dbc.угол abc равен 45 градусов.найдите угол abd

Дано:

угол ABC и угол DBC

угол ABC=45°

Найти угол ABD

Т.к. угол ABC= угол DBC(верт.)

По свой-ву верт. углов (они равны)  

Соответственно ABC=DBC=45°

Предлагаю  следующий доказательства:
Возьмем внутри выпуклого многоугольника  произвольную точку  q.
От  этой  точки проведем прямую к каждой вершине  и получим. n треугольников. Каждая прямая  делит  внутренние углы многоугольника (фk) на 2 угла. То  сумма   всех образованных  углов равна  сумме углов  данного  многоугольника. Сумма двух соседних углов   равна.
180-qn  где qn-углы при  вершине q. То  сумма  всех углов равна.
S=(180-q1)+(180-q2).......+(180-qn)=180*n -(q1+q2+q3....+qn)
Сумма   всех углов при вершине q  равна  полному углу  360
То  сумма углов  S=180*n-360=180(n-2)
Чтд.

1) AM=MC=16 см. Так как медиана делит противоположную сторону пополам (см рисунок)
Из треугольника АВМ по теореме косинусов:
 АВ²=АМ²+МВ²-2АМ·МВ·cos 120°
АВ=2√97, АМ=16, ВМ=х
Получаем уравнение:
4·97=16²+х²-2·16·х·(-1/2)
х²+16х-132=0
D=256+4·132=4(64+132)=4·196=(2·14)²=28²
x=(-16-28)/2<0      или      х=(-16+28)/2=12/2=6
ВМ=6
Из треугольника ВМС по теореме косинусов
ВС²=ВМ²+МС²-2ВМ·МС·cos 60°=6²+16²-2·6·16·(1/2)=196=14²
ВС=14
ответ. ВС=14- третья сторона треугольника равна 14 см

2) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
АК: КС= АВ: ВС
значит
АВ:ВС=4:3
или
АВ=4х,  ВС=3х
По теореме косинусов из треугольника ВКС:
ВС=3х, КС=3, ∠ВКС=60°
ВС²=ВК²+КС²-2·ВК·КС·сos 60°
(3x)²=BK²+9-2·BK·3·(1/2)
9x²=BK²-3·BK+9                        ( * )
По теореме косинусов из треугольника AВК:
AВ=4х, AК=4, ∠ВКA=120°
AВ²=AК²+BK²-2·AК·BК·сos 120°
(4x)²=16+BK²-2·BK·4·(-1/2)
16·x²=BK²+4·BK+16              ( ** )
Решаем систему двух уравнений ( * )  и ( ** )с двумя неизвестными х и ВК
заменим х² в уравнении ( ** ) на выражение (BK²-3·BK+9)/9  из ( *):
16·(BK²-3·BK+9 )/9=BK²+4·BK+16  - умножим уравнение на 9
16·ВК² -48·ВК+16·9=9·ВК²+36·ВК+9·16
7·ВК²-84·ВК=0
7·ВК·(ВК-12)=0
ВК-12=0
ВК=12
ответ. биссетриса равна 12