Вравнобедренном треугольнике abc с основанием bc проведена медиана am. найдите периметр треугольника abm, если медиана am равена 16, 1 см, а периметр треугольника abc равен 77, 8 см

77,8 - 16,1 = 61,6(см) - P∆ABM
ответ: 61,6 см.

40 см и 25 см

Объяснение:

Дано:

Прямоугольный треугольник АВС (угол С - прямой):

гипотенуза АВ = 130 см

катет ВС = 104 см

Найти:

длины отрезков, на которые биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение.

1) По теореме Пифагора найдём длину катета АС:

АС = √(АВ²-ВС²) = √(130²-104²) = √(16900-10816) = √6084= 78 см

2) В треугольнике меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это значит, что меньшим острым углом является ∠В, против которого лежит катет АС.

3) Выполним построение.

Из угла В проведём биссектрису, которая пересечет катет АС в точке Е. Из вершины прямого угла С проведём  медиану к гипотенузе АВ, и точку пересечения медианы со стороной АВ обозначим D, а точку пересечения медианы CD с биссектрисой ВЕ обозначим F.  

В принятых обозначениях необходимы найти DF и FC.

4) Теорема. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно:

DC = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см

Так как точка D является серединой АВ, согласно построению, то:

BD = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см

5) Теорема. Биссектриса данного угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Следовательно:

DF : FC = DB : BC                (1)

Так как DC = DF + FC = 65 cм, то

DF = DC - FC = 65-FC         (2)

Подставим (2) в (1), получим:

(65-FC) : FC = DB : BC

(65-FC) : FC = 65 : 104  

65 · 104 - 104FC = 65FC

6760 = 65FC + 104FC

169 FC = 6760

FC = 6760 : 169 = 40 см

Отсюда DF = 65-FC = 65 - 40 = 25 см

ответ: биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведённую к гипотенузе, на два отрезка длиной (считая от вершины прямого угла) 40 см и 25 см.

Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c);

Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c.

Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е.

Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т.

Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то

a = x + y;

b = x + z;

c = y + z;

Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT. 

Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10)

Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и

(p - a)/p = t/a; 

(10 - a)/10 = 2,4/a;

это легко привести к виду

a^2 - 10*a + 24 = 0; 

a = 4 или 6.

Получилось 2 решения. :(