Отрезок длиной 25 см упирается концами в две перпендикулярные плоскости. проекции отрезка на эти плоскости равны 24 см и 20 см. вычислите длину перпендикуляров к данным плоскостям.

По определению проекцией отрезка на плоскость является отрезок между основаниями перпендикуляров, опущенных на эту плоскость из концов данного отрезка. По условию плоскости перпендикулярны, значит перпендикуляр лежит во второй плоскости, образуя вместе с проекцией и данным отрезком прямоугольный треугольник, в котором данный отрезок есть гиротенуза. Тогда длины перпендикуляров:
Н1=√(25²-24²)=7 см, Н2=√(25²-20²)=15 см

Добавляю альтернативное решение, которое, по моему , проще и короче.

Смотри рисунок. Там сделаны дополнительные обозначения.

Из подобия красного треуг. и АВЕ  имеем

R:(a/2)=a:(R+r+x)
подставляем исходные значения, получаем

2*25/(8a)=a/(25/8+3/2+x)  

откуда после простейшего преобразования получаем

(37+8x)*5²=32a²

a²=(37+8x)*5²/32
т.к.   а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое.
т.к.  5² не имеет общих множителей с 32, то  (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д.

если оно равно 1, то а=5,  тогда х=-5/8  (да,да, именно  -5/8  !, потому что реальный рисунок не такой, а именно т.О2 должна находиться между точками О1 и Е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6.
Итак , решено.
Но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше. 
Примем же это.
Тогда сторона  а=10, х=11,375
Т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный.  Но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности.
Значит, ответ единственный - 5,5,6. 

 

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно:

,
где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, R- радиус описанной окружности.

Сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать.
Пусть 



Разделим первое уравнение на второе:



Сделаем обратную замену:



Пусть 



Значит, боковая сторона относится к основанию как 5:4, либо как 5:6.

Обратная замена:

 

Получилось, что основание выражается иррациональным числом. Значит, данное значение не подходит.

Теперь решим второе уравнение:



Значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см.
ответ: 5 см; 5 см; 6 см.