Диагонали ромба равны 16 и 12 см, а высота проведённая к ней в три раза меньше высоты. найти площадь и периметр

d1- первая диагональ

d2- вторая диагональ

a- сторона ромба

S площадь

P периметр

S=(d1*d2):2

S=16*12:2==96 см

a^2=(d1^2+d2^2)/4=(16^2+12^2)/4=400:4=100

a^2=100

a=10 см

P=4*10= 40 см

Плоскости квадрата АВСD и треугольника АМВ взаимно перпендикулярны, следовательно, угол МНК между лучами, проведенными из одной точки на их общей стороне АВ перпендикулярно к ней прямой. 

МН перпендикулярна плоскости квадрата⇒ перпендикулярна любой прямой, проходящей через её основание Н. 

а) ВС и АМ лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются -- они скрещивающиеся. 

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми,  нужно провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся пересекающиеся прямые. Угол между ними равен углу  между исходными скрещивающимися. 

АМ -наклонная, ее проекция НА перпендикулярна стороне квадрата АD.⇒ АМ⊥АD.  Сторона  ВС параллельна АD, следовательно, ВС⊥АМ

б) Искомый угол - угол между МС и ее проекцией НС на плоскость квадрата, т.е. угол МСН. 

∆ АМВ равнобедренный, его высота МН ещё и медиана ⇒ АН=ВН=2.

По т.Пифагора МН=√(AM²-AH²)=√(24-4)=√20

НС - диагональ прямоугольника НВСК. По т.Пифагора 

НС=√(BH²+BC²)=√(4+16)=√20

В прямоугольном  ∆ МНС катеты МН=СН ⇒ его острые углы равны 45°

Угол между МС и плоскостью квадрата равен 45°

ответ в приложенном рисунке.
Диаметр искомой окружности равен сумме радиусов данных концентрических окружностей, то есть 12см. Следовательно,  радиус искомой окружности равен 6см.
Есть второй вариант расположения концентрических окружностей и окружности, касающейся их: окружность касается концентрических окружностей с одной стороны от центра концентрических окружностей. Тогда диаметр искомой окружности равен разности радиусов концентрических окружностей, то есть 8-4=4см. Следовательно,  радиус искомой окружности равен 2см.