Даны две параллельные плоскости альфа и бета. множество треугольников таких, что одна сторона каждого треугольника лежит в плоскости альфа, а середина другого- в плоскости бета. какую фигуру образует множествовершин этих треугольников, не принадлежащих плоскости альфа?

слова "середина другого-" смущают. пусть вторая плоскость содержит середины боковых сторон (а первая - основания, целиком). тогда третья вершина треугольника будет принадлежать третьей плоскости, отстоящей от второй на то же расстояние, что и первая, но - с другой стороны. всегда можно провести секущую плоскость, чтобы треугольник лежал в ней. легко показать и равенство расстояний, поскольку плоскость бета всегда проходит через среднюю линюю.

 

дальше надо сформулировать утверждение о единственности плоскости, это утверждение очевидно, но требует точности. скажем, если в 3 случаях у нас вершины попали в эту плоскость, то и все туда попадут, и никуда больше.

 

это можно и так сформулировать - если взять 2 плоскости, и соединить 2 любые точки, то плоскость, параллельная этим и равноотстоящая от них, разделит этот отрезок пополам.  

вообще все эти "авторские" преследуют методические цели - надо, чтобы ученик владел простейшими понятиями. скажем, если есть 2 плоскости, проходящие через три точки, то они и так далее, неприятность тут в том, что надо именно владеть понятиями, как разговорным языком.

1) катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, тоесть этот катет равен 3 см, теперь используя теорему пифагора получаем что второй катет равен корень квадратный из (36-9)=корень квадратный из 27 = 3 корня из 3

 

2) проведем высоту к основанию - получили два прямоугольных треугольника с гипотенузой 4 корня из 2 и с одним из катетов 4. через теорему пифагора получаем квадрат высоты равен квадрат 4корняиз2 - квадрат4=16*2-16=16 =>   высота равна 4 => треугольники равнобедренные и углы равны 45, 45 и 90 градусов

1. рисуем плоскости (в виде книги).

      в верхней плоскости выбираем точку а и опускаем из неё перпендикуляр ас на нижнюю плоскость. ас=6 см.

    из точки а проводим перпендикуляр ав к линии пересечения плоскостей.

ав=12 см.

    получаем прямоугольный треугольник авс с прямым углом с.

    находим угол в через его синус: sinb=ac: ab

                                                                                                          sinb=6: 12=1/2

                                                                                                                  b=30 град - это и есть угол между плоскостями.

 

2.

даны точки м(3; 0; -1), к(1; 3; 0), р(4; -1; 2). найдите на оси ох такую точку а, чтобы векторы мк и ра были перпендикулярны.

 

вектор мк(1-3; 3-0; 0+1)=(-2; 3; 1)

вектор ра(4-х; -1-у; 2-z)

 

a принадлежит оси ох, начит её координаты равны а(х; 0; 0)

  вектор ра(4-х; -1-0; 2-0)=(4-х; -1; 2)

 

векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0.

мк*ра=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0

                      -2(4-х)-3+2=0

                        -8+2х-1=0

                        2х=9

                          х=4,5

а(4,5; 0; 0) - искомая точка

 

3. можно воспользоваться рисунком из первой , причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник авс, основание которого ав лежит на линии пересечения плоскостей.

1)из вершины с опускаем два перпендикуляра, один сн на нижнюю плоскость,  а второй сf  - к линии пересечения плоскостей.

2)треугольник авс-равносторонний (по условию), ав=вс=ас=m

высота af треугольника авс равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2

3)теперь найдём  расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа:   ан=sin фи * msqr(3)/2