)основанием прямой призмы abcda1b1c1d1 явояется прямоугольеюник abcd, стороны которого равны 10 и 13 целых 1/3. высота призмы равна 4√3. через вершину d1 и середины ребер ad и cd проведена секущая плоскость. найдите косинус угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы.

Если в квадрате, вписанном в круг, провести диагональ, то видно, что эта диагональ не только является гипотенузой образованных из квадрата треугольников, но и диаметром круга. Обозначим ее Д, а стороны квадрата а
 Как гипотенуза, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:   Д =√(а² +а²) =√2а² = √(2·4²) = 4√2
Обозначим S - площадь круга. S =(πД²)/4. Можно сразу подставлять Д² = 2а². S =(3,14·2·16):4 = 25,12(см²)  
( но через R лично мне всегда считать удобнее. S = πR², R =Д/2 =(4√2)/2 = 2√2
S = 3,14·(2√2)²=3,14·8 = 25,12 (см²))

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
При разделении плоскостью, проходящей через середины сторон трапеции высоты получившихся призм одинаковы, и нужно показать, что линия пересечения плоскости с основанием делит его на две равные по площади фигуры. Это легко. Для основания: S трап = 0,5 (а + в) h
Линия пересечения проходит через середины оснований, значит, она рассекает каждое основание на две равные части: 0,5а и 0,5а; 0,5в и 0,5в.
получившиеся фигуры  - тоже трапеции и площади их равны: S лев = S прав = 0,5 (0,5а + 0,5в) h.
Итак, площади оснований половинок призмы - одинаковы, а высота  - как была, так и осталась Н. Следовательно, и получившиеся призмы - равновелики., т.е. равны по объёму