Найдите площадь прямоугольного треугольника в котором отношение гипотенузы к одному из катетов равно 5/3, а другой катет равен 8 см

с  - гипотенуза

а = 8 см - один катет

в = ? -  другой катет

с/в = 5/3 - по условию, отсюда в = 3с/5

По теореме Пифагора: с² = а² + в²

подставим в = 3с/5 и а = 8

с² = 64 + 9с²/25

с² - 9с²/25 = 64

16с²/25 = 64

с² = 64 : 16/25 = 100 (см²)  отсюда с = 10см

в = 3с/5 = 3 · 10 : 5 = 6см

Площадь треугольника равна половине произведения катетов

S = a · в /2 = 8 · 6/2 = 24 (см²)

c=5x (см), a=3x (см), b=8 см

c^2= a^2 +b^2 <=> 25x^2= 9x^2 +64 <=> x=√(64/16)=2

a=3*2=6 (см)

S= ab/2 =6*8/2 =24 (см^2)

Или

Дан египетский треугольник (3:4:5), множитель k=8/4=2.

S=6k^2 =6*4 =24 (см^2)

сумма внешнего угла треугольника вместе с внутренним равна 180 градусов, поэтому внутренние углы в треугольнике равны 180-107=73градуса, 180-123=57 градусов. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому третий угол равен

180-(73+57)=50 градусов. Внешний угол смежный с ним равен 180-50=130 градусов. 

сумма внешних углов треугольника, взятых по одному около каждой вершины равна 360 градусов. 123+107+130=360градусов

2)внешний угол равен 88 градусов, значит внутренний угол равен 180-88=92градуса. так как  этот угол тупой, то он является вершиной равнобедренного треугольника. Тогда углы при основании равны. По свойству внешнего угла их сумма равна внешнему углу, не смежному с ними, то есть 88 градусов. Каждый угол равен 88:2=44 градуса

 

 

 

 

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника. 

Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º

Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М. 

Пусть АК=х, ВН=у. 

Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у

АВ=х+у

АС=х+3, ВС=у+3

Формула радиуса вписанной окружности

r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр

р=х+у+3

3=84:(х+у+3)

х+у+3=28⇒

х+у=25

у=25-х

АВ=х+у=25 дм

АС=х+3

ВС=25-х+3=28-х

По т.Пифагора

(х+3)²+(28-х)²=625

Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение

х²-25х+84=0

D=25²-4·84=289

Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4

АС=21+3=24 дм

ВС=28-21=7 дм

Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25