Точки t, x, y, z такие точки на сторонах четырехугольника abcd, что at: tb = 3: 1, bx : xc = 1: 2, cy : yd = 1: 1, dz : za = 1: 5. установите, какую часть площадь шестиугольника arxcyz состовляет от площади четырехугольника abcd

1) Так как в задании не указано конкретное ребро, то приводим расчёт длин всех рёбер.

Например, АВ = √((хВ - хА)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).

Остальные аналогично.

Векторы  Δx  Δy  Δz  Сум.квадр.  Длины

      АВ  4   -6    4     68       8,246211251

      ВС 0    5   -2     29      5,385164807

      АС 4   -1   2     21      4,582575695

     АД 3    2    7    62      7,874007874

    ВД -1   8    3     74      8,602325267

    СД -1   3   5     35      5,916079783 .

2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0  

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0    y - 7       z - 1

4 - 0 1 - 7        5 - 1

4 - 0 6 - 7       3 - 1

 = 0

x - 0       y - 7     z - 1

4      -6      4

4       -1      2

 = 0

(x - 0)  -6·2 - 4·(-1)  -  (y - 4)·2 - 4·4  +  (z - 4)·(-1) - (-6)·4  = 0 ,

(-8) x - 0  + 8 y - 7  + 20 z - 1  = 0 ,

 - 8x + 8y + 20z - 76 = 0 ,    разделим на (-4),

2x - 2y - 5z + 19 = 0.

3) Прямая, проходящая через точку Д и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

(x -3)/2 = (y - 9)/(-2) = (z - 8)/(-5).

4) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения AB x AC:

Векторное произведение:

i j k

4 -6 4

4 -1 2   =

=i((-6)·2-(-1)·4) - j(4·2-4·4) + k(4·(-1)-4·(-6)) = -8i + 8j + 20k

S = (1/2)√((-8)² + 8² + 20²) = (1/2)√528 ≈ 11,489.

5) V = (1/6)*(AB x AC) * AD.

Определитель матрицы равен:

∆ = 4*((-1)*7-2*2)-4*((-6)*7-2*4)+3*((-6)*2-(-1)*4) = 132.

Тогда V = 132/6 = 22 куб.ед.

1.
Так как 15 < 12 + 9, треугольник с такими сторонами существует.
Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
15² и 12² + 9²
225 и 144 + 81
225 = 225, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник
ответ: в) прямоугольный.

2.
Коэффициент подобия: k = 2/5.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S₁ : S₂ = 4 : 25
8 : S₂ = 4 : 25
S₂ = 25 · 8 : 4 = 50
ответ: Нет правильного ответа.

3.
АВ = ВС = (Рabc - AC) / 2 = (32 - 12) / 2 = 20 / 2 = 10 см
Найдем площадь по формуле Герона (р - полупериметр):
Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))
Sabc = √(16 · 6 · 6 · 4) = 4 · 6 · 2 = 48 см²
Из другой формулы площади найдем радиус вписанной окружности:
Sabc = p·r
r = Sabc / p = 48 / 16 = 3 см
ответ: б) 3 см

4.
Проведем радиусы в точки касания.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:
АК = АМ = 5 см,
ВК = ВЕ = 12 см
СМОЕ - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности, который обозначим r.
По теореме Пифагора составим уравнение:
(5 + 12)² = (5 + r)² + (12 + r)²
17² = 25 + 10r + r² + 144 + 24r + r²
2r² + 34r + 169 = 289
r² + 17r - 60 = 0
D = 289 + 240 = 529
r = (- 17 + 23) / 2 = 6 / 2 = 3
Второй корень отрицательный, не подходит по смыслу задачи.
АС = 5 + 3 = 8 см
ВС = 12 + 3 = 15 см
ответ: г) 8 см и 15 см.

5.
Центр окружности, описанной около прямоугольника, лежит в точке пересечения его диагоналей, значит радиус равен половине диагонали, которую находим по теореме Пифагора:
r = d/2 = √(a² + k²) / 2