Даны векторы a ⃗ {1; -1}, b ⃗ {-4; 1}. найдите все значения x, при каждом из которых векторы a ⃗ + x b ⃗ и a ⃗ будут перпендикулярны.

Задача состоит в нахождении всех значений x, при которых векторы a ⃗ + x b ⃗ и a ⃗ будут перпендикулярными.

Для того чтобы найти такие значения x, мы должны воспользоваться свойством перпендикулярности, которое гласит, что два вектора будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно 0.

Известно, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Поэтому, чтобы векторы a ⃗ + x b ⃗ и a ⃗ были перпендикулярными, необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось 0:

(a ⃗ + x b ⃗) · a ⃗ = 0

(a ⃗ ⋅ a ⃗) + x (a ⃗ ⋅ b ⃗) = 0

(1 ⋅ 1) + x ((1 ⋅ -4) + (-1 ⋅ 1)) = 0

1 + x (-4 - 1) = 0

1 - 5x = 0

5x = 1

x = 1/5

Таким образом, единственным значением x, при котором векторы a ⃗ + x b ⃗ и a ⃗ перпендикулярны, является 1/5.