Найдите сторону квадрата вписанного в окружность если сторона правильного треугольника описанного около этой окружности равна 10 см

Начнём всё по порядку. Так как треугольник описан возле окружности, то окружность вписана в треугольник. Треугольник правильный, мы знаем его формулу.

r = √3 * a / 6

r = √3 * 5/3

Радиус окружности известен, найдем сторону квадрата

R = b√2/2

5√3/3 = b√2/2

10√3/3 = b√2

b = 10√3/3√2

Пусть SABCD - правильная 4-х угольная пирамида.О- точка пересечения диагоналей основания. Тогда SO-высота пирамиды.

Sпов.=Sосн.+Sбок.

Sосн.=а²=6²=36(ед.кв.)

Sбок.=½рl, где р - периметр основания, l-апофема(высота боковой грани).

Росн.=4а= 4·6=24 ед. -поскольку в основании квадрат.

Найдем апофему пирамиды, для этого проведем высоту боковой грани SAB, которая является равнобедренным треугольником. Получим SМ, т.М - середина стороны АВ основания пирамиды, т.к. для треугольника SAB SМ есть высотой, бисектрисой и медианой.

Кроме того по т. о 3-х перпендикулярах ОМ - проекция SМ на основание и ОМ тоже перпендикулярен АВ. Таким образом ОМ - радиус окружности вписаной в основание пирамиды. Для квадрата R=½а=½·6=3.

Из треугольника SОМ(угол О - прямой) по т.Пифагора SМ²=ОМ²+SО², SМ²=3²+4²=9+16=25,

SМ=5.

Sбок.=½·24·5=60(ед.кв.)

Sпов.=60+36=96(ед.кв.)

 

 

Биссектриса проведённая к основанию равнобедренного тр-ка c боковой сторотой b = 10, является и медианой и высотой h=8.

Найдём основание а по теореме Пифагора:

(0,5а)² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36

0,25а² = 36

а² = 144

а = 12(см)

 

Найдём площадь тр-ка S и полупериметр р

S = 0,5a·h = 0,5·12·8 = 48(см²)

р = (12 + 2·10):2 = 32:2 = 16(см)

 

Радиус описанной окружности

R = а·b·b/(4S) = 12·10·10/(4·48) = 1200:192 = 6,25(см)

Радиус писанной окружности

r = S/p = 48/16 = 3(см)

 

ответ: R = 6,25 см, r = 3см