Впрямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в соотношении 1: 2. в каком отношении делит гипотенузу опущенная на нее высота?

рассмотрим треугольники образованные из прямоугольного, разделенные лучом 45 градусовпо теореме синусов запишем соотношение сторон в треугольниках и выразим через синусыполучим tg(a) = 1/2где а - меньший угол в исходном треугольнике

 

рассмотрим прямоугольные треугольники образованные из исходного прямоугольного, разделенные высотой. из подобия находим, что искомое соотношение равно tg(a)*tg(a) получим ответ = 1: 4

Отрезок BD - диаметр окружности с центром О. Хорда AC делит

пополам радиус OB и перпендикулярна к нему. Найдите углы

четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB BC CD и AD.

---------

Соединим центр окружности с вершиной А.

Отрезок ОА - радиус, МО равен его половине.

sin ∠ МАО равен МО: АО=1/2.

Это синус 30°∠ МАО=30°, ⇒∠ АОВ=60°.

ВО=АО=радиус окружности. ⇒ △ АОВ равнобедренный.

Сумма углов треугольника 180 градусов.

∠ ОВА=∠ОАВ=(180°-60°):2)=60° ⇒ △ АОВ- равносторонний.

Углы ВАD и ВСD опираются на диаметр ⇒ они прямые=90°.

⊿ ВСD и ⊿ВАD -прямоугольные, и

∠СDВ=∠АDВ=180°-(90°-60°)=30°

⊿ ВСD=⊿ВАD.

∠ D=2 ·∠АDВ=2·30°=60°

Сумма углов четырехугольника 360°

∠АВС=360°- 2·90°- 60°=120°

Градусная мера дуги равна центральному углу, который на нее

опирается.

На дугу АВ опирается центральный угол АОВ=60°⇒ ее градусная мера 60°

На дугу СВ опирается центральный угол СОВ=60°⇒ ее градусная мера 60°

В треугольнике САD ∠САD=∠DАС=60°

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую

опирается.

На дугу CD опирается вписанный угол САD=60°⇒ она равна 2·60°=120°

На дугу АD опирается вписанный угол АСD=60°⇒ она равна 2·60°=120°

∠А=С=90°

∠В=120°

∠Д=60°

градусные меры дуг

AB=60°

BC=60°

CD=120°

AD=120°.

1    дано abcd  ромб,ab=a,  ae=ab=ek=kb ,∠bad =30°,ek||ad,расстояние между прямыми  ek и  ad:   d(ek ,ad) =(7√a)/2.α=(  (abcd) ,(bek))  -?   (угол между плоскостями ромба  abcd  и треугольника  bek).

проведем bm⊥ek  и bn  ⊥  ad  ⇒bm=a(√3)/2 ,bn=ab/2 =a/2.α=∠mbk  _ искомый угол .

по теореме косинусов из  δmbn   : (a(√7)/2√)² =  (a(√3)/2)²+(a/2)²-2*a(√3)/2*(a/2)*cosα  ⇒cosα = (-√3)/2  ⇒  α = 150°. 2  дано: равнобедренная трапеция  ab=cd, bc||ad, bc=2  см ,ad=5 см,  ∠bad =45°,  α=  ∠ ((abcd) ,  (bck)) =60°  (угол между плоскостями  (abcd) и  (bck) равно  60°) ,bk =√3  см  ,ck =1  см.x=d(k ,ad) -?

по обратной теореме пифагора заключаем ,что    δbkc -прямоугольный    (bk²+kc² =bc²  ≡(√3)²+1² =2²) ,∠bkc=90°.проведемвысоту  кн  ⊥bc и из полученной точки   н высоту eн  трапеции.

s(δbkc) =(1/2)*bk*ck =(1/2)*bc*kh⇒kh =√3/2 (см) .просто найти  высоту    трапеции  eн =(ad -bc)/2=3/2  (см),   т.к.  ∠bad=45°.x² =kh² +eн² -2*kh*eн*cosα =(√3/2)²+(3/2)² -2*(√3/2)*(3/2)*(1/2)==(12-3√3)/4⇒x =(√(12-3√3)/)2  .