в равнобедренном треугольнике авс (ав=вс) длина средней линии mn равна 6 (м принадлежит ав, n принадлежит вс), а синус угла вас равен 4/5. найдите радиус окружности, вписанной в ∆ mbn.
средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.
следовательно, ∆ mbn подобен ∆ авс, т.к. их углы равны, и
sin∠вмn =sin∠bac=4/5.
опустим из в высоту вн на mn. высота равнобедренного треугольника - его медиана и биссектриса. мн=3
вм=мн: cos∠bmh
cos²∠bmh=1-sin²∠bmh=1-16/25
cos ∠bmh=√16/25=3/5=0,6
ав=3: 0,6=5, ⇒ bn=5
формула радиуса вписанной окружности
r=s/p, где s- площадь треугольника, р- его полупериметр.
s=ab*мн•sin ∠bmh=5•6•0,8: 2=12
p=(6+2•5)/2=8
r=12: 8=1,5 (ед.длины)
как вариант решения можно по т.пифагора вычислить
длину вн=4, площадь ∆ bmn по формуле s=ah.
радиус r - по формуле радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ( она дана в приложенном рисунке)
можно провести из точки с прямую ii вd и продлить ad до пересечения с этой прямой, пусть это точка е. треугольник аве имеет ту же площадь, что и трапеция, потому что его оcнование равно (ad + bc), а высота у них общая - расстояние от с до ad.
треугольник аве подобен аdо, и отношение сторон (3 + 4)/4 = 7/4; значит отношение площадей (7/4)^2 = 49/16, осталось заметить, что площадь треугольника ado равна 4/3 от площади треугольника аво, потому что во = od*3/4, а высота этих треугольников общая - это расстояние от а до bd.
итак, площадь ado = 6*4/3 = 8;
s = 8*49/16 = 49/2;
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Из точек а и в, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры ас и вd ко второй стороне угла. а) докажите, что ас ii bd. б) найдите угол авd, если угол сав= 125 градусов.
а) это точно не помню, но вроде потому что два угла по 90 градусов.
б) так как aciibd, угол cab и угол abd являются односторонними при параллельных и секущей и сума углов равна 180 градусов. угол abd=180- cab=180- 125=55.