Втреугольнике авс прямая, проходящая через вершину а, делит медиану вм пополам. докажите, что эта прямая делит сторону вс в отношении 1 : 2.

В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А, делит медиану ВМ

МА и МВ – наклонные, проведенные из точки М к плоскости. Проведём из точки М перпендикуляр МО к плоскости.

Отрезок соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной называется проекцией наклонной. Тогда АО – проекция МА, ОВ – проекция МВ.

Если прямая перпендикулярна плоскости, значит данная прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Следовательно угол МОА=90°, угол МОВ=90°, то есть треугольники МОА и МОА прямоугольные.

Пусть МА – меньшая наклонная и она будет равна х см, тогда МВ равна х+1 см, АО=3 см, ОВ=2√5 см.

В прямоугольном треугольнике МОА по теореме Пифагора:

МА²=МО²+АО²

МО²=МА²–АО²

МО²=х²–3² (Ур 1)

В прямоугольном треугольнике МОВ по теореме Пифагора:

МВ²=МО²+ОВ²

МО²=МВ²–ОВ²

МО²=(х+1)²–(2√5)² (Ур 2)

Поставим значение МО² из Ур 1 в Ур 2:

х²–3²=(х+1)²–(2√5)²

х²–9=х²+2х+1–20

х²–х²–2х=–20+1+9

–2х=–10

х=5

Тогда получим что МА=5 см, а МВ=6 см.

ответ: 5 см, 6 см.

Обозначил меньшее основание - а, большее основание - b. Тогда периметр трапеции, с учётом условия равенства меньшего основания и боковых сторон, можно записать так Р=3*а+b. Площадь трапеции выглядит так: S=1/2*(a+b)*h, подставим известные нам значения 128=1/2*(a+b)*8 или a+b=(128*2)/8; a+b=32. Выразим из последнего уравнения b и подставим его в уравнение периметра: b=32-a; P=3*a+32-a; получим 52=2*а+32; 2а=52-32; 2а=20; а=10 см. b=32-10=22 см. Получили, что боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, а большее основание равно 22 см.