На сторонах ab и bc треугольника abc отмечены точки d и f соотвественно так, что угол cda= углу afc. отрезки dc и af пересекаются в точке o, причём od=of. найдите bc, если ad=3 см, bd= 4 см. , заранее большое

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:



Пусть b = 6 - сторона квадрата. Найдём а = ОА - половину диагонали АС. Диагонали разбивают квадрат на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника, в нашем случае с боковыми сторонами, равные а.

Считаем а по теореме Пифагора:


Теперь находим угол α между векторами. Переместим параллельно вектор ОА, совместив его начало с точкой D. Тогда сразу становится ясно, что угол между векторами ОА и DC равен 135°.

Вычисляем скалярное произведение:

Дано: в конус вписан шар;    h = OC = 8 мм;    AC = 10 мм
Найти: r - ?;   длину линии касания

Для решения нужно провести сечение конуса по диаметру основания, в сечении будет равнобедренный ΔBCA

ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
OA² = AC² - h² = 100 - 64 = 36 = 6²
OA = 6 мм 

ΔBCA равнобедренный  ⇒     BA = 2·OA= 2·6 = 12  мм
Площадь треугольника

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

16r = 48    ⇒    r = 3 мм

Длина касания - это длина окружности
             с центром в точке P и радиусом KP
ΔDKC - прямоугольный, т.к. DK - радиус в точку касания K

ΔBOC подобен ΔCKD по двум углам, прямому и общему ∠KCD



ΔBOC подобен ΔKPC по двум углам, прямому и общему ∠KCD



Длина окружности с центром в точке Р
L = 2π·KP = 2·π·2,4 = 4,8π

ответ: радиус вписанного шара  3 мм;   
            длина линии касания 4,8π мм