Основание треугольника равно 20 см, один из углов при основании равен 30, а противолежащий основанию угол равен 60. найдите сторону, противолежащую углу в 30 градусов.

ответ: 20sqrt(3)/3

Объяснение:

Дано: чотирикутник ABCD - рівнобічна трапеція (AB = CD); ∠BAD = 60°, BD = 14 см.

Знайти: BC - ?

Розв'язання. Нехай х см - довжина більшої основи (AD) трапеції. Тоді (х - 10)см - довжина бокової сторони трапеції (AB). Скористаємося теоремою косінусів - твердженням про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора.

BD² = AD² + AB² - 2 × AD × AB × cos∠BAD

14² = x² + (x - 10)² - 2 × x × (x - 10) × cos60°

196 = x² + x² - 20x + 100 - 2(x² - 10x) × 1/2

196 = x² - 10x + 100

x² - 10x - 96 = 0

Скористаємося теоремою Вієта:

х₁ + х₂ = 10

х₁ × х₂ = -96

x₁ = -6 (не задовольняє умові задачі); x₂ = 16

Тоді АD = 16 см, а AB = 16 - 10 = 6 см.

Для того, щоб знайти меншу основу рівнобічної трапеції проведемо дві висоти ВК та СМ з точок В і С відповідно (див. рисунок). Вони утворюють прямокутник, у якого менша основа трапеції ВС дорівнює відрізку КМ, який належить більшій основі AD.

KM = AD - AK - MD = AD - 2AK (тому що AK = MD).

Щоб знайти відрізок АК, розглянемо трикутник АВК (∠AKB = 90°):

cosα = AK/AB ⇒ AK = AB × cosα = 6 × 1/2 = 3 (cм)

Отже, KM = AD - 2AK = 16 - 2 × 3 = 10 (см) = BC

Відповідь: ВС = 10 см.

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: АК делит ∠А на равные углы ∠ВАК=∠КАD; а ∠АКD=∠КАВ как накрестлежащие ⇒

∠AKD=∠КАD. Аналогично доказывается, что ∆ NBC - равнобедренный.

По условию ХY║AB.

В равнобедренных треугольниках АDК и NBC стороны ВС=BN; DК=DА, а так как ВС=AD и ∠CBN=∠ADK, треугольники CBN и ADK равны по первому признаку равенства треугольников.

Боковые стороны этих треугольников лежат на параллельных прямых, КD║BN.

. ∠BNC=∠CNB=∠KAB=∠ KAD (доказано), АК и CN по равенству соответственных углов - параллельны.⇒

Четырехугольник АNQP параллелограмм по определению (противоположные стороны параллельны), ⇒

NQ=AP

∆ ВNQ = ∆ DAP по двум сторонам и заключённому между ними углу. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Угол ADP=углу NBQ=углу ABQ, что и требовалось доказать.