Провести медианы, биссектрисы и высоту в остром и тупом углах. (рисунок) заранее !

Задача: Найти площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 8 см, и одна из проекций катета на гипотенузу равна 4 см.

Дан ΔABC, ∠C = 90°, CH = 8 см — высота, AH = 4 см — проекция катета AC.

Из определения, высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

   

Тогда длина гипотенузы будет равна:

   

Подставим значения в формулу площади треугольника:

   

ответ: Площадь треугольника равна 80 см².

Краткая запись решения:
r=a:2=4:2=2см
R=d:2
d=a√2=4√2
R=0,5·4√2=2√2 см
--------------------------------------------------
Подробное решение.
 Дан квадрат со стороной, равной 4 см.
 1) В квадрат  вписана окружность, значит, она внутри квадрата. Её диаметр равен стороне квадрата, значит
 d=4, радиус  r окружности равен половине  её диаметра ⇒
радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. r=4:2=2 см (радиус вписанной окружности обычно обозначается буквой r)
На рисунке диаметр вписанной окружности МН, МО - ее радиус.
-----
Вокруг квадрата описана окружность. Её диаметр равен диагонали квадрата, т.к. все вершины квадрата лежат на описанной окружности. 
Формула диагонали квадрата d=a√2, но её можно вычислить по т.Пифагора из равнобедренного треугольника ВАD ( см. рисунок)
BD=a√2=4√2 см
Радиус описанной окружности равен половине диаметра, ⇒
R=D:2=2√2 см
 ( радиус описанной окружности обычно обозначают заглавной R)