1) какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 граней. сколько вершин и ребер имеет эта пирамида? 2) длина ребра куба 5 см. вычислите длину его диагонали и площадь полной поверхности 35

Для начала, важно заметить, что в треугольнике ABC угол В равен 90°, что делает его прямоугольным треугольником.

Итак, согласно условию, в треугольнике ABC угол В равен 90°, AB равно 15 дм, а ВС равно 20 дм. Мы можем использовать эти данные для нахождения других значений в треугольнике ABC.

Для начала, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину AC, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора получаем:

AC² = AB² + BC².

Подставляем значения:

AC² = 15² + 20²,
AC² = 225 + 400,
AC² = 625.

Чтобы найти значение AC, мы можем взять квадратный корень из обеих сторон уравнения:

AC = √625,
AC = 25.

Таким образом, мы узнали, что длина AC равна 25 дм.

Теперь давайте нарисуем треугольник ABC и точку К, проведя перпендикуляр КВ к его плоскости:

A
/ |
/ |
K--B
\ |
\|
C

Мы знаем, что между плоскостями треугольников АКС и АВС есть угол в 30°. Это значит, что угол между линией КВ и плоскостью треугольника АВС, по которому мы проводим перпендикуляр КВ, также равен 30°.

Теперь нам нужно найти площадь треугольника АКС. Мы можем использовать формулу площади треугольника:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае, основанием будет отрезок KS, а высотой будет расстояние между точкой S и плоскостью АВС.

По условию, угол между плоскостями АКС и АВС равен 30°. Это означает, что угол между отрезком КС и плоскостью АВС также равен 30°.

Теперь нам нужно найти длину отрезка KS и расстояние между точкой S и плоскостью АВС. Для этого мы можем использовать геометрические свойства.

Поскольку угол В равен 90°, то мы можем утверждать, что треугольник КВС является подобным треугольнику ABC. Вспомним, что подобные треугольники имеют соотношение длин сторон, равное соотношению соответствующих сторон.

Поэтому, мы можем записать:

\(\frac{KS}{BC} = \frac{KV}{AB}.\)

Подставим значения:

\(\frac{KS}{20} = \frac{KV}{15}.\)

Теперь мы можем выразить KV через KS:

\(KV = \frac{15}{20} \cdot KS = \frac{3}{4} \cdot KS.\)

Теперь, чтобы найти KS, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике КВС:

\(KS² = KV² + VS².\)

Подставим значения:

\(KS² = \left(\frac{3}{4} \cdot KS\right)² + VS².\)

Раскроем скобки:

\(KS² = \frac{9}{16} \cdot KS² + VS².\)

Вычтем \(\frac{9}{16} \cdot KS²\) из обеих сторон уравнения:

\(KS² - \frac{9}{16} \cdot KS² = VS².\)

Упростим:

\(\frac{7}{16} \cdot KS² = VS².\)

Теперь мы можем выразить VS через KS:

\(VS = \sqrt{\frac{7}{16} \cdot KS²} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot KS.\)

Теперь, у нас есть высота треугольника АКС. Подставим найденные значения в формулу площади треугольника:

Площадь АКС = (1/2) * KS * VS,
Площадь АКС = (1/2) * KS * \(\frac{\sqrt{7}}{4} \cdot KS\),
Площадь АКС = \(\frac{1}{8} \cdot \sqrt{7} \cdot KS².\)

Теперь мы можем найти площадь треугольника АКВ. Основание будет равно отрезку КВ, а высота будет равна длине отрезка КС, который мы уже нашли:

Площадь АКВ = (1/2) * КВ * КС,
Площадь АКВ = (1/2) * \(\frac{3}{4} \cdot KS\) * KS,
Площадь АКВ = \(\frac{3}{8} \cdot KS².\)

Наконец, чтобы найти площадь треугольника СКВ, мы можем использовать формулу площади треугольника:

Площадь СКВ = (1/2) * КВ * КС,
Площадь СКВ = (1/2) * \(\frac{1}{4} \cdot KS\) * KS,
Площадь СКВ = \(\frac{1}{8} \cdot KS².\)

Теперь, чтобы найти сумму площадей треугольников АКС, АКВ и СКВ, мы складываем найденные площади:

Сумма площадей = Площадь АКС + Площадь АКВ + Площадь СКВ,
Сумма площадей = \(\frac{1}{8} \cdot \sqrt{7} \cdot KS² + \frac{3}{8} \cdot KS² + \frac{1}{8} \cdot KS².\)

Упростим:

Сумма площадей = \(\frac{5}{8} \cdot KS² + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{7} \cdot KS².\)

Итак, сумма площадей треугольников АКС, АКВ и СКВ равна \(\frac{5}{8} \cdot KS² + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{7} \cdot KS².\)

1) Для нахождения значения выражения cos^2 110° + sin^2 110°, мы можем использовать тождество Пифагора для тригонометрических функций.

Тождество Пифагора гласит: cos^2 θ + sin^2 θ = 1, где θ - это любой угол.

В нашем случае, у нас есть cos^2 110° + sin^2 110°. Значит, мы можем заменить это значение на 1.

Итак, значение выражения cos^2 110° + sin^2 110° равно 1.

2) Для нахождения значения выражения tg 72° / tg 108°, нам понадобится использовать тригонометрическое тождество tg (α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α * tg β), где α и β - это любые углы.

У нас есть tg 72° / tg 108°, поэтому мы можем использовать тождество tg (α - β). В данном случае, α = 72° и β = 108°.

Теперь рассмотрим шаги для решения:

1. Найдем значения tg 72° и tg 108° с помощью калькулятора или таблицы тригонометрических значений.
tg 72° ≈ 3.0777
tg 108° ≈ 1.7321

2. Подставим значения в тригонометрическое тождество tg (α - β):
tg (72° - 108°) = (tg 72° - tg 108°) / (1 + tg 72° * tg 108°)
tg (-36°) = (3.0777 - 1.7321) / (1 + 3.0777 * 1.7321)

3. Заметим, что tg (-36°) эквивалентно tg (360° - 36°), поскольку tg θ имеет периодичность 180°.
В этом случае, α = 360° и β = 36°.

4. Используем тригонометрическое тождество еще раз:
tg (360° - 36°) = (tg 360° - tg 36°) / (1 + tg 360° * tg 36°)
tg 324° = (0 - 1.7321) / (1 + 0 * (-1.7321))

5. Заметим, что tg 324° эквивалентно tg (324° - 360°), поскольку tg θ имеет периодичность 180°.
В этом случае, α = 324° и β = 360°.

6. Используем тригонометрическое тождество в последний раз:
tg (324° - 360°) = (tg 324° - tg 360°) / (1 + tg 324° * tg 360°)
tg (-36°) = (tg 324° - 0) / (1 + tg 324° * 0)
tg (-36°) = -1.7321 / (1 + 0)
tg (-36°) = -1.7321

Итак, значение выражения tg 72° / tg 108° равно -1.7321.