1)в прямоугольном треугольнике abc на гипотенузу ab=23 опустили высоту cd, которая разделила треугольник на два меньших треугольника, в каждый из которых вписали окружность. прямая, проходящая через центры этих окружностей, пересекает катеты ac и bc в точках m и n соответственно. найдите площадь треугольника abc, если площадь треугольника cmn равна 18. 2)пусть pm, pn и pk – длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки p внутри треугольника. найдите наибольшее возможное значение произведения pm×pn×pk, если стороны треугольника равны 9, 12 и 15.

1.Углы альфа и бетта вписанные, значит они равны половине дуги на которую опираются, следовательно дуга соответствующая углу альфа равна 21*2=42(град), а дуга соответствующая углу бетта 49*2=98(град).  

Найдем градусную меру дуги соответствующую углу х, 360-(180+98+42)=40, значит угол х=1/2*40=20(град)

ответ: 20град.

2.2х+3х+4х=180

9х=180

х=20

20*2=40(1-ый угол)

20*3=60(2-ой угол)

20*4=80(3-ий угол)

Проверка:

40+60+80=180

3.В треугольнике АКС угол К-прямой=90 градусов. Т.к Хорды окружности АК и КС построены из одной точки К  на концы диаметра. Отсюда по тореме пифагора АС²=АК²+КС²

АС²=12²+9²=225

АС=√225=15

Радиус равен 15/2=7,5 (рисунок внизу)

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу,  делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.  

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  

Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.  

Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82  

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.  

Примем отрезок АН гипотенузы  за х, НВ тогда 82-х  

Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ  

СН²=АН*НВ  

1600=х(82-х)  

х²-82х+1600=0

Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.

АН, как более короткий отрезок, равен 32,  

НВ=50  

Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .

И отношение их катетов одинаково.  

Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ.  АН:СН=СН:НВ=4:5  

АС:СВ=4/5

Но всегда простое решение - лучше сложного.

Вариант решения:

Основа решения:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  

Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.

По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.

И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5

И вариант третий -  если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.