Дано: ab=ad, bc=dc. докажите, что am =an, где точки m и n середины отрезков bc и dc соответственно

Объяснение:

Пусть M – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. На сторонах AB и BC отмечены соответственно точки E и F так, что AE ≠ CF и

∠FMC = ∠MEF = α. Найдите ∠AEM.

Решение

Рассмотрим описанную окружность треугольника MEF. Угол между касательной и хордой MF равен ∠MEF = ∠FMC. Поэтому MC и есть касательная. Значит, центр окружности лежит на высоте BM. Следовательно, эта высота является осью симметрии рисунка. Поскольку AE ≠ CF, то окружность пересекает каждую из боковых сторон в двух точках. Причём E и F не симметричны. Два возможных случая снабжены соответствующими индексами (см. рис.). Рассмотрим их.

1) Внешний угол AE1M вписанного четырёхугольника ME1E2F2 равен углу MF2E2, а последний равен симметричному углу ME1F1, равному α.

2) Вписанные углы AE2M и ME2F2, равный α опираются на симметричные дуги.

ответ

α.

Task/25937020

1.
Определяем координаты точки  D (середина отрезка CB) :
X(D) = ( X(C) +X(B) ) /2 =(3+4) /2 = 3,5 ;
Y(D) = ( Y(C) +Y(B) ) /2 =(-2 +1) /2 = - 1,5.
D(3,5 ; - 0,5) .
2.
 Уравнение прямой CB  :
* * * y -y₁=k(x -x₁) , k =(y₂ -y₁) / (x₂ -x₁) _ угловой коэффициент    * * *
 k = (1 -(-2))/ (4 -3) =3/1 =3
у - (-2) = 3(x -3) ⇔ y = 3x  -11.  
* * * 3x - y -11 =0 ⇔ (3x - y -11) /√(3² + (-1)² )=0 ⇔(3x - y -11) /√10=0 ⇔
(3/√10)*x -(1/√10) *y -11/√10 = 0→нормальное . уравнение прямой; здесь
можно вычислить расстояние от точки  A(1 ; 3)  до прямой СВ ,         т.е.   высоту AE : AE = |3*1 -3 -11| /√10 =11 /√10=1,1√10 .   * * * 
3 ₋.   
Уравнение прямой AE  :
AE ⊥  CB  ⇒  k₁*k = -1 ,   k₁  = -1/3 ( угловой коэффициент  прямой  AE)
y -3 = -1/3(x-1) ⇔ y = (-1/3)x +10/3 .
4 ₋. 
Определяем координаты точки E( основание высоты ) _пересечение двух
прямых :
{ y =3x -11 ;                { x =4,3 
{ y = (-1/3)x +10/3      { y =1, 9                   E( 4,3 ; 1,9)
5 .   
Если  не проходили скалярное произведение векторов, то из ΔAED :
cosφ = AE / AD  =√( (4,3,-1)² +(1,9 -3)²)  / √( (3,5,-1)² +(-0,5  -3)²) 
=(1,1√10 ) / √ 18,5 = 1,1*√10*√10/√ 18,5 *√10 = 11/√185. 
φ =arcCos(11/√185) ≈ arccos( 0,809). 
 
 ответ:  φ =arcCos(11/√185)   * * * По таблице косинусов  ↔φ =36° * * *