Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 5 см. меньшая боковая сторона равна 10 см, а большая боковая сторона образует с основанием ∡45°. найди площадь трапеции. ответ: площадь трапеции равна см2 .

37.5

Объяснение:

S = (a+b) / 2 *h

т.к. трапеция прямоугольная, то меньшая боковая сторона и есть высота,   h=5

если угол между бок стороной и основанием  = 45, то опустив высоту из "вершины В" получу прямоугольный равнобедренный Δ, значит BH = AH = 5 т.о. основание AD= AH=HD

AD = 5+5 =10

S = (10+5) / 2 * 5 = 37.5

Я решил сохранить эту задачу. 
а) EFGH и FMHN - параллелограммы.
У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD; 
То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2;  
У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD .
У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения.
У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а)) 
Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата.
(Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить).
То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α;
Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними.
С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);

При решении я предполагаю, что автору задачи известно, что медианы делят треугольник на шесть, равных по площади, как отностятся площади треугольников, если есть общая высота и прочее... если что будет не понятно - спршивайте.

1. Skldc = (1/3)*Sabc = 8;

2. (3/4)*Sabc = m*n/2 (прямая MN - средняя линяя, и отсекает четверть площади треугольника); Sabc = 2*m*n/3;

3. Треугольники СОА и СОМ равны - это прямоугогльные треугольники с равными углами и общим катетом. АО = ОМ, поэтому треугольники АОL и LOM тоже равны. 

Но самое главное, BL/AL = СВ/АС = 2*CM/AC = 2*MO/OA = 2.

Поэтому Smlb = 2*Smla = 4*Solm, а Smlb + Smla = Sabc/2;

Имеем

4*Solm + 2*Solm = Sabc/2; Solm = 1/12;

4. Это то же самое, что найти площадь треугольника со сторонами 27,29 и 26*2 = 52; понять это очень просто - треугольник достраивается до параллелограмма (медиану продолжаем за основание на свою длину и соединяем полученную точку с концами сторон). Диагонали делят праллелограмм на 2 части, равные по площади. Поэтому и получается, что площадь треугольника со сторонами a,b и медианой m равна площади треугольника со сторонами a, b и 2*m. Считаем по формуле Герона (слава Гейтсу, есть Excel) полупериметр p= 54, p-a = 27;p-b = 25; p - c1 = 2; (c1  это 52 = 2*26); ясно видно, что произведение равно 27^2*100, то есть площадь 270.

5. Всё, что надо знать - формула S = a*b*sinC/2; Доли площадей треугольников АЕМ EBF и MFC от площади АВС определяются именно по ней, к примеру

Saem = (1/3)*AB*(2/5)*AC*sinC/2 = (1/3)*(2/5)*Sabc;

Sefm/Sabc = 1 - (1/3)*(2/5) - (2/3)*(1/6) - (5/6)*(3/5) = 23/90;