Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен 5 корень 3 найдите сторону шестиугольника и радиус вписанной в него окружности

Сделаем рисунок и рассмотрим его.
Пусть ВМ и АD пересекаются в точке Н. 
Медиана ВМ делит АС на два равных отрезка АМ=СМ.
АМ=4:2=2
АН в треугольнике  АВМ является высотой - угол АНВ - прямой , т.к. АD перпендикулярна ВМ.
Но она же и медиана, т.к. по условию ВН=НМ, следовательно, треугольник ВАМ - равнобедренный  
( в равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины угла против основания - совпадают, и, наоборот, если медиана и высота треугольника равны, то этот треугольник - равнобедренный). 
АВ=АМ=2
( с нескольких попыток не удалось загрузить рисунок, но он очень простой, несложно выполнитьсамостоятельно)

Формула радиуса описанной вокруг правильного треугольника окружности 
R=a:√3
Если формулу не помните, можно найти радиус иначе. 
Центр описанной вокруг правильного треугольника окружности находится в точке пересечения его биссектрис ( высот, медиан). 
Эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Следовательно, радиус такой окружности равен 2/3   высоты правильного треугольника. 
Сторона  данного треугольника, найденная из периметра, равна
30:3=10 см
Углы правильного треугольника равны 60°
h=10(sin(60°)=(10√3):2=5√3
R=(5√3)*2:3==10/√3
Сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Следовательно, равна 10/√3.
Диагональ правильного четырехугольника ( квадрата) равна диаметру описанной вокруг него окружности. 
Следовательно, сторона а такого  квадрата равна 
a=10/√3)*sin(45°)=5√6