Втреугольнике авс угол b вдвое больше угла с, а угол а - тупой. точка к на стороне вс такова, что угол кас - прямой. докажите, что кс=2ав.

Объяснение:  Примем угол АСВ=х, тогда угол АВС=2х

В прямоугольном ⊿ САК проведем медиану АМ. По свойству медианы прямоугольного треугольника АМ=СМ=КМ.

=> ∆ АМС равнобедренный, и угол МАС=угол АСМ=х.

  По свойству внешнего угла угол АМК при вершине М треугольника АМС равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. => угол АМК=2х

В треугольнике МАВ углы при основании МВ равны 2х. Треугольник МАВ равнобедренный. АВ=АМ. Но КС=2 АМ, а т.к. АВ=АМ,  то КС=2АВ

1) S =πRL+πR²  Формула полной поверхности конуса. Обозначим конус 6 АВС ( В- вершина ) , точка О-центр окружности основания.
Найдём радиус основания . Sосн=πR²( дано)
πR²=49π
R²=49
R=√49=7
Из ΔАОВ ( Угол О=90 град) по теореме  Пифагора найдём длину образующей L=AB      АВ²=ОВ²+АО²
АВ²=13²+7²=169+49=218
АВ=√218=
Sбок=πRL=π7·√218=7√218π
Sп=7√218π+49π
2)Задача
Обозначим наш рисунок : АВСД - осевое сечение цилиндра , О- точка -центр нижнего основания,MKLN- проведённое сечение , О1- точка верхнего центра основания. Точка Т∈KL ( верхнего основания )
Для того что бы найти площадь сечения MKLN нужно знать высоту цилиндра и величину MN(KL)/Высота по условию дана =12см . Из ΔKTO1  найдём КТ ( КО1=R)По теореме Пифагора КО1²-О1Т²=КТ²
КТ²=10²-8²=36
КТ=√36=6  ⇒KL=2KT=12
SΔMKLN=12·12=144

Дано: (СА; γ)=(СВ; γ)=α; АСВ=β
Найти: sin(ABC; γ)
Решение: Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно провести в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, угол между этим перпендикулярами и будет углом между плоскостями.
Проведем СН перпендикулярно плоскости γ и СМ - биссектрису угла АСВ. Так как углы наклона СА и СВ к плоскости γ равны, то СА=СВ, следовательно треугольник АСВ равнобедренный и СМ является также медианой и высотой. Аналогично, проекции равных отрезков на плоскость γ равны между собой НА=НВ, а НМ является биссектрисой, медианой и высотой в равнобедренном треугольнике АНВ.
Распишем искомый синус угла:

Чтобы найти СН сделаем планиметрическую картинку треугольника АСН и запишем синус известного угла CAH:

Чтобы найти СМ аналогично изобразим картинку треугольника АСВ. Так как СМ - биссектриса, то угол АСМ равен (β/2). Рассмотрим треугольник АСМ:

Подставляем найденные величины в формулу для синуса искомого угла:

ответ: sin(α)/cos(β/2)