Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника 4 корня из 3 см. найдите 1)радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2)количество сторон многоугольника.

1. AD²=AC²-CD²  AD²=100-36=64  AD=√64=8
2.в ромбе углы прилежащие к одной стороне в сумме равны 180°
180-120=60  h-высота  h=a×sin60  a-сторона ромба  h=8×sin60°=8×√3/2=4√3
S=ah  S=8×4√3=32√3
3.a-нижнее основание трапеции   b-верхнее основание трапеции  с-боковые стороны трапеции
(a+b)/2=5  a+b=10
P=a+b+2c    26=10+2c   2c=16  c=8
4.a-меньшая сторона треугольника
по теореме косинусов  14²=a²+(a+4)²-2a(a+4)cos120°
cos120°=cos(90°+30°=-sin30°=-1/2
196=a²+(a+4)²-2a(a+4)(-1/2)
a²+4a-60=0
D=16+240=256
a1=(-4-16)/2=-10  не подходит
a2=(-4+16)/2=6   
a=6   a+4=10
P=14+6+10=30

Сумма углов ромба, прилежащих к одной из сторон равна 180°.
Пусть острый угол ромба равен х, тогда по условию тупой угол равен 2х.
х+2х=180·,
3х=180°,   х=180/3=60°, 
Проведем из вершины тупого угла высоту к стороне ромба, которая по условию равна 5√3.
В полученном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°. Путь, катет лежащий против этого угла равен х, тогда гипотенуза это сторона ромба, равна будет 2х,
По теореме Пифагора 4х²-х²=(5√3)²
3х²=75; х²=25; х=5.
Сторона ромба равна 5·2=10.
Периметр ромба равен Р=10·4=40.
ответ: 40.