Впрямоугольном треугольнике авс угол а=90 медиана ам делит биссектрису ск в отношении 9/4 считая от вершины с. найдите tg угла с

обозначим о - точка пересечения биссектрисы и медианы. пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, со = q, обозначим так же за ф половину угла с.

в силу того, что треугольник прямоугольный, медиана ам равна половине основания, и треугольник сма равнобедренный. угол мас = 2*ф, поэтому угол мос = 3*ф, угол амв = 4*ф. 

применим теорему синусов к треугольнику мос

(a/2)/sin(3*ф) = q/sin(pi - 4*ф);

кроме того,

а*cos(2*ф) = p*cos(ф); (равно катету, который сторона угла вас)

отсюда (просто делим одно на другое)

2*cos(2*ф)*sin(3*ф) = (p/q)*cos(ф)*sin(4*ф); немного

sin(3*ф) = (p/q)*cos(ф)*sin(2*ф);

sin(ф)*(3 - 4*(sin(ф))^2) = (p/q)*2*(cos(ф))^2*sin(ф);

3 - 2*(1-cos(2*ф)) = (p/q)*(1+cos(2*ф));

cos(2*ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол вса и есть 2*ф, то это ответ.

в случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),

cos(2*ф) = 4/5;

а, ну да, надо 3/4 будет

треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5) 

 

если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для  cos(2*ф) можно к виду

cos(2*ф) = 1/(d - 1);

что выглядит еще симпатичнее.

 

1)по свойству касательных, проведённых из одной точки, ab=ac. значит, δbac - равнобедренный. опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,

< bad = < cad. из этого непосредственно вытекает, что ad - биссектриса,  проведённая к основанию, а значит и медиана. bd = cd.

2)рассмотрю δbdo, < d = 90°, так как ad ещё и высота по известному факту.

пусть bd = x, тогда по теореме пифагора r = √9+x². осталось только найти x.

3)рассмотрю δoba, < b = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

bd - высота δoba - по доказанному выше. а высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. значит,

bd = √3*5+1/3 = √16 = 4. bd = x = 4

4)теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:

bo = √9+x² = √9+16 = √25 = 5

решена )

1)пусть md = x. зная, что каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на эту гипотенузу, составим уравнение:

mk = √mp*x

mp*x = mk²

x = mk²/mp

x = 36/10 = 3.6

2) тогда dp = mp-md = 10-3.6 = 6.4

3)по свойству, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему пропорциональному отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

значит,

kd = √3.6*6.4 = √23.04 = 4.8

s(mkd) = 1/2 * kd * md = 0.5 * 4.8*3.6 = 8.64

s(kdp) = 0.5 * kd * dp = 0.5*4.8*6.4 = 15.36

4)s(mkd)/s(kdp) = 8.64/15.36 = 0.5625≈0.6