1.ак и ср – диаметры окружности с центром в точке о. докажите, что хорды ар и кс равны. найдите ар, если кс = 8 см. 2.ав = ад, вс = дс. докажите, что ас – биссектриса ˂а. 3. постройте прямую, перпендикулярную данной прямой а, проходящую через данную точку м, не лежащую на прямой а. 4. разделите тупой угол авс на четыре равные част

№2) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О , которая является серединой каждого из них.
а) Докажите, что ΔАОС = ΔBOD.
б) Найдите ∠ОАС ,если ∠ОDB = 20°,∠АОС = 115°.

а) АО = ОС по условию,
ВO = OD по условию,
∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒
ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними.

б) ∠ОСА = ∠ODB = 20°, так как в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.
В ΔАОС: ∠ОАС = 180° - (∠АОС + ∠ОСА) = 180° - (115° + 20°) = 180° - 135° = 45°

№3) В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см.
Найдите длину боковой стороны треугольника.

Формулировка "одна из сторон треугольника равна 16 см" предполагает, что будут рассмотрены два случая:
а) Пусть 16 см - основание равнобедренного треугольника.
Тогда боковая сторона равна
(64 - 16)/2 = 24 см
б) Боковая сторона 16 см не может быть равна, так как тогда основание равно
64 - 2 · 16 = 32 см, а любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других.

№1) В треугольнике АВС высота ВD делит ∠В на два угла,причем ∠АВD = 40°, ∠СВD = 10°.
а) Докажите, что ΔАВС - равнобедренный, и укажите его основание.
б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.

а) ∠АВС = ∠ABD + ∠CBD = 40° + 10° = 50°
В ΔBDA ∠BAD = 180° - 90° - 40° = 50°.
Так как ∠АВС = ∠ВАС, треугольник равнобедренный с основанием ВА.
б) ΔBCD: ∠BCD = 90° - ∠DBC = 90° - 10° = 80°.
 В равнобедренном ΔАВС высота СН является так же и биссектрисой, значит ∠ВСО = ∠BCD/2 = 80°/2 = 40°.
ΔВСО: ∠ВОС = 180° - ∠ВСО - ∠СВО = 180° - 40° - 10° = 130°

№2 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого их них.
а) Докажите равенство треугольников АСВ и ВDА.
б) Найдите ∠АСВ,если ∠СВD = 68°.

а) АО = ОВ по условию,
BO = OD по условию,
∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒
ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними, ⇒
АС = BD.

АО = ОВ по условию,
BO = OD по условию,
∠АОD = ∠BOC как вертикальные, ⇒
ΔАОD = ΔBOС по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = ВС.

АС = BD,
AD = ВС,
АВ - общая сторона для треугольников АСВ и BDA, ⇒
ΔАСВ = ΔBDA по трем сторонам.

б) Из равенства треугольников
ΔАОС = ΔBOD равны углы, обозначенные цифрами 1 и цифрами 3.
Из равенства треугольников
ΔАОD = ΔBOС равны углы, обозначенные цифрами 2  и цифрами 4.
∠CBD = 68°, тогда в ΔCBD ∠3 + ∠4 = 180° - 68° = 112°.
∠АСВ = ∠3 + ∠4 = 112°

№3 Две стороны треугольника равны 0,9 см и 4,9 см. Найдите длину третьей стороны, если она выражается целым числом сантиметров.

Обозначим третью сторону а.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон:
0 < a < 5,8
0,9 < a + 4,9
4,9 < a + 0,9, ⇒ a > 4
 Значит,
4 < a < 5,8.
На этот промежуток попадает только одно целое число: 5.
а = 5.

№2) отрезки АВ и СD пересекаются в точке О , которая является серединой каждого из них.
а) докажите , что треугольник АОС=треугольнику BOD.
Решение: Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, так как СО=ОD, АО=ВО (дано) и <АОС=<DOB как вертикальные.
Что и требовалось доказать.
б) найдите угол ОАС ,если угол ОDB =20 градусов, угол АОС =115 градусов.
Решение: В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит <ACO=<ODB=20°. Тогда <OAC=180°-115°-20°=45°.
ответ: <ОАС=45°.
№3) в равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон рана 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.
Решение:
Две оставшиеся стороны в сумме равны 64-16=48см. Предположим, что это боковые (равные) стороны. Тогда боковая сторона равна 24см. Если же боковая сторона равна 16см, то основание равно 64-2*16=32см. Такой треугольник по теореме о неравенстве треугольников (большая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон) не существует (так как 16+16=32).
ответ: боковая сторона равна 24см.
№1) В треугольнике АВС высота ВD делит угол В на два угла,причем угол АВD=40 градусов, угол СВD=10 градусов.
а) Докажите ,что треугольник АВС - равнобедренный,и укажите его основание.
Решение: В прямоугольном (BD-высота) треугольнике DBC <C=90°-10°=50°. То есть Вв треугольнике АВС углы В и С равны, так как угол В=40°+10°=50° (высота BD делит его на углы 40° и 10° - дано). Следовательно, треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Что и требовалось.
б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О.Найдите угол ВОС.
Решение: Треугольник АВС равнобедренный. Проведем высоту АЕ на его основание. Треугольник ВОС также равнобедренный, так как любая точка на высоте АЕ равноудалена от точек В и С. Следовательно <BCO=<OBC=10° (дано), а <ВОС=180°-20°=160° (по сумме углов треугольника).
ответ: <ВОС=160°.
№2. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О,которая является серединой каждого их них.
а)Докажите равенство треугольников АСВ и ВDА.
Решение: Четырехугольник АСВD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм". Следовательно, треугольники АСВ и ВDА равны по трем сторонам, так как в параллелограмме противоположные стороны равны, а сторона АВ у них общая. Что и требовалось.
б) найдите угол АСВ,если угол СВD=68 градусов.
В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Значит <ACD=180°-<CBD или <ACD=180°-68°=112°.
ответ: <ACD=112°.
№3. Две стороны треугольника равны 0,9 см и 4,9 см.Найдите длину третьей стороны,если она выражается целым числом сантиметров.
По теореме о неравенстве треугольника, треугольник существует, если сумма двух его сторон больше третьей стороны. 0,9+4,9=5,8. Значит третья сторона, удовлетворяющая условию, что ее длина выражается целым числом сантиметров, равна 5см.
ответ: 5см.