В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора.
Обозначим вписанный квадрат АВСД,
В и С - точки касания с дугой сектора, точки А и Д - с его сторонами-радиусами, О - вершина угла сектора.
∆ АОД - равнобедренный, углы при А и Д равны 30º.
Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку пересечения с АД - Н.
Тогда ВО - искомый радиус R
R²=МО²+МВ²
МВ=а/2
МО=МН+НО
МН=а,
ОН=ДН*tg30º=(а/2)*1/√3=a/2√3
МО=а+a/2√3=а(2√3+1)
R²=[3a²+a²(2√3+1)²]:12
R²=a²(4+√3):3
R=a√(4+√3):√3
--------------------------------------------------
Или по т. косинусов:
R²=АВ²+АО²- 2АВ*АО*cos∠ВАО
∠ВАО=90º+30º=120º
cos120º=-cos∠60º= -1/2
Из ∆ АОН
АО=АН/sin60º=a/√3
R²=а²+а²/3- (2а²/√3)*(-1/2)
R²=а²(4√3+3):3√3=а²(4√3+√3*√3):3√3
Сократим выражение на √3
R²=а²(4+√3):3
R=a√(4+√3):√3
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
в треугольнике авс точка е- середина стороны ав , угол сеа=90° , угол авс=80°, угол сае=50°найдите углы есв и сва
Ладно , угол АСВ = 180-(80+50) = 50 градусов , а СЕ это и медиана и высота , а из этого следует что треугольник равнобедренный , а из этого следует что СЕ биссектриса , значит ЕСА =50:2= 25 градусов
Но к чему находить СВА, если известен угол АВС что является тем же углом СВА?
( если построить чертеж это видно )