Стороны параллелограмма равны 5 и 8, а косинус одного из углов равен -корень из 2 делёный на 2. найдите площадь параллелограмма

дано: abcd- пар.-мм, bh-высота, ab=5, ad=8

найти: s(

решение

1) cos a= корень из 2/2==> < a=45 градусов, треугольник abh-прямоугольный, равнобедренный

2) cos a= ah/bh

ah=5 корней из 2/2

3) ah=bh=5 корней из 2/2

s(abcd)=bh*ad

s(abcd)=20 корней из 2

Пусть боковые стороны-х, меньшее верхнее основание-а, нижнее-в т.к. в трапецию можно вписать окружность, то справедливо равенство, что х+х=а+в, т.к. р=200, то 100=100, т.к. х+х=100, и а+в=100, т.е. х=50, а+в=100 применим известную площадь. s=h*(а+в)/2, h=s*2/(а+в)=40 высота =40, боковая сторона 50.  опустим высоты из верхнего основания. по бокам образовались треугольники, найдем их основания-по т. пифагора=30 (треугольники со сторонами 30,40,50) нижнее основание в=30+30+а, т.к. а+в=100, то а+(30+30+а)=100, а=20, следовательно, в=80 в равнобедренной трапеции диагонали образуют подобные треугольники (верхний с верхним основанием, и нижний с нижним основание) по двум углам, коэфициент подобия - а: в=20: 80=1: 4. следовательно, и высоты этих треугольников относятся как 1: 4, возьмем за меньшую высоту у,  т.е. если вся высота 40, то 1у+4у=40, у=8

Плоскости, а которых лежат прямые ав и ас перпендикулярны, значит и перпендикуляры вн и сн, опущенные из точек в и с на линию пересечения плоскостей, взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольный треугольник нвс. в этом треугольнике найдем по пифагору гипотенузу вс: вс=√[2*(4√2)²]=8 см. тогда площадь треугольника авс по герону: s=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)], где р-полупериметр, a,b,c - стороны треугольника. в нашем случае р=(5+5+8): 2==9 см. тогда s=√(9*1*4*4)=12 cм². можно и так: проведем высоту ак в равнобедренном треугольнике авс. она является и медианой. значит ск=4 см и по пифагору ак=√(5²-4²)=3. тогда sabc=(1/2)*8*3=12 cм². ответ: площадь треугольника авс равна 12 см².