С длина хорды 30 см. через один из концов хорды проведена касательная к окружности, а через 2 второй-другая хорды длиной 36 см и параллельная касательной. найдите радиус окружности. вот чертеж

Решение первых трех задач дано LopaAnt Хорошист

1. Стороны РК и РМ треугольника РМК равны, PН его медиана. Найдите углы PHK и KPH, если ∠МРК = 42°.

Треугольник равнобедренный, поэтому РН - медиана, высота, биссектрисса. =>

 РHK = 90 гр.,  KPH = МРК/2 = 42/2 = 21.

2. Луч КС биссектриса угла DKВ, а отрезок DK равен отрезку BK. Докажите, что ΔKDC = ΔKBC.

Рассмотрим треугольник KDC и треугольник KBС;

DK = BK, ∠DKC = ∠СКВ - по условию.

КС - общая. 

ΔKDC = ΔKBС по двум сторонам и углу между ними.

3.  На основании NK равнобедренного треугольника NBK отложены отрезки NA = KC. Докажите, что ∠NBA = ∠KBC.
рассмотрим треугольники NBA и KBC. угол BNA и угол BKC равны как углы при основании равнобедренного треугольника. BN = BK, NA = KC - по условию. треугольники NBA и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. из равенства треугольников следует равенство углов NBA и KBC.

4. В окружности с центром О проведены диаметры АС и хорда ВD, пересекающиеся в точке М, причем ВМ = DМ. ∠ВАС = 35°. Найдите угол ВАD.

Соединим точку О с концами хорды BD. OB = OD как радиусы окружности, значит ОМ - медиана и высота равнобедренного треугольника OBD.
То есть, AC⊥BD.
Тогда в треугольнике ABD АМ - медиана и высота, ⇒ ΔABD равнобедренный. Значит АМ еще и его биссектриса.
∠BAD = 2·∠BAC = 2·35° = 70°

по теории об окружностях:

1) угол, с вершиной в центре окружности называется центральный. он равен градусной мере дуги на которую опирается

2) угол, с вершиной на окружности называется вписанным  измеряется половиной дуги на которую опирается

3)вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны

4) центр. углы, опирающиеся на одну дугу - равны

5) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу

 

если угол ABC=68, то дуга AC на которую он опирается равна 136, тогда дуга АС, на которую опирается угол СDA равна 224, Угол CDA= 112 

 

угол СAD равен углу CBD т.к они опираются на одну дугу
угол СAD=26

 

угол ACD равен углу ABD  т.к они опираются на одну дугу

угол ACD=42

угол ACB равен углу ADB точно по тому же

и угол СOB равен углу DOA т.к. они вертикальные

обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD точкой О

треугольник AOD подобен треугольнику COD т к углы равны