Таганрог в 19 веке глазами Толстого. ​

9. Углы ACB и BCD - смежные, а значит ∠ACB = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60°.

Равнобедренный треугольник, у которого хотя бы 1 угол равен 60° - равносторонний, а значит все углы треугольника равны по 60°.

10. Углы BDC и D - равны как вертикальный, т.е. ∠BDC = 60°. Треугольника - равносторонний.

AB - высота, медиана и биссектриса, а значит делит угол B пополам. Тогда каждый из углов CBA и ABD равен 30°.

11. Угол DCB - смежный с углом ACB, а значит ∠ACB = 180° - ∠DCB = 180° - 80° = 100°.

Тогда каждый из углов B и A равен (180° - 100°) : 2 = 40°.

12. Пусть ∠ACD = x.

В треугольнике ACD ∠A = 2∠ACD = 2x (так как в треугольнике АВС ∠А = ∠С как углы при основании АС, а ∠С = 2х как сумма равных углов ACD и BCD).

Сумма углов треугольника ACD равна 2x + x + 60° = 180°;  3x = 120°, откуда x = 40°.

Углы A и C равны по 2 · 40° = 80°. Тогда ∠В = 180° - 2∠А = 20°.

13. Треугольник BED - правильный, т.е. равносторонний,а значит ∠DBE = 60°.

∠EBC - угол, смежный с ∠EBD, т.е. он равен 180° - 60° = 120°. А так как АВ по рисунку - биссектриса угла ЕВС, то ∠EBA = ∠ABC = 120° : 2 = 60°.

14. Углы BDE и BDC  смежные, а значит ∠BDC = 180° - ∠BDE = 30°.

Углы А и D треугольника АВD равны как углы при основании АD, т.е. ∠A = ∠D = 30°.

Тогда ∠В = 180° - 2∠А = 120°.

BC - высота, медиана и биссектриса треугольника и делит угол В пополам, а значит каждый из углов ABC и DBC  равен по 60°.

15. Угол В равен 120° как угол, смежный с ∠60°

Каждый из углов D и A равен (180° - 120°) : 2 = 30°.

BC - высота, медиана и биссектриса, а значит делит угол В пополам. Тогда каждый из углов DBC и CBA равен по 60°.

16. Угол D равен 70° как угол, смежный с ∠110°.

∠В = ∠D как углы при основании треугольника BDC.

Тогда ∠С = 180° - 2∠В = 40°.

Угол АВС - смежный с ∠В, поэтому он равен 180° - ∠В = 110°.

Решение

Предположим, что каждая из сторон четырёхугольника ABCD меньше √2/2 Тогда квадрат длины каждой стороны меньше 1/2. Среди четырёх углов, образованных пересекающимися прямыми AB и CD, есть два неострых угла. Рассмотрим стороны четырёхугольника, расположенные в этих неострых углах. Сумма квадратов их длин меньше 1. Квадрат длины стороны треугольника, лежащей против неострого угла, не меньше суммы квадратов длин двух других сторон треугольника. Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые делятся отрезки AB и CD точкой пересечения, меньше 1. С другой стороны, каждый из этих отрезков делится точкой пересечения на два отрезка, сумма квадратов длин которых не меньше 1/2 поскольку x^2 + (1 - x)^2 = 2(x - 1/2)^2+1/2>=1/2Получено противоречие.