1. Даны точки А(-1; 2), В(3;0) и С(1;2 Найти: 1) координаты векторов (АВ) ⃗ и (АС) ⃗; 2) модули векторов (АВ) ⃗ и (АС) ⃗; 3) координаты вектора (DE) ⃗ = 3(АВ) ⃗ - 4(АС) ⃗ . 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) (АВ) ⃗ + (ВС) ⃗ ; 2) (АС) ⃗ - (АВ) ⃗ ; 3) (СА) ⃗ + (СВ) ⃗ . 3 На сторонах СD и АD параллелограмма АВСD отмечены соответственно точки М и К так, что СМ : МD = 1 : 4, АК : КD = 3 : 2. Выразите вектор (МК) ⃗ через векторы (АВ) ⃗ =a ⃗ и ( CB) ⃗ =b ⃗

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, все углы равны  60°. а биссектриса является и медианой и высотой. Поэтому она делит такой треугольник на два равных прямоугольных. 

Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота - один катет, половина стороны - другой катет, сторона - гипотенуза. 

По т.Пифагора а²=(a/2)²+h²

откуда а²=4h²/3

Заменив в этом выражение h на 12√3, получим

а²=4•12*•3/3=4•12², откуда 

а=√(4•12*)=2•12=24 (ед. длины)

-----------------

Короткое решение:

Биссектриса (медиана,  высота) равностороннего треугольника h=а•sin60°, откуда 

a=h:sin60°

a=12√3:(√3/2)=24

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301