На рисунке 263 MO=FO, уг.MEO=уг.FKO=90'.Докажите что МЕО=FKO

в треугольниках MOE и FOK Mo=fo;yгMeo= уг fko за данными

угMoe=угFOK(вертикальные углы)

таким образом треугольники равные за 2 признаком равности треугольников

В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР.
Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/4 части ВС: РК =a/4.
Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДP:
(по условию МД = a/2, а КД = РД = a/4)
PM = √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) =
= √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4.
Высота h треугольника РМК равна:
h = √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8.
Искомая площадь равна:
 S(MPK) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.

В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР.
Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/3 части ВС: РК = 6/3 = 2.
Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДК:
(по условию МД = 3, а КД = РД = 6/3 = 2)

Теперь все стороны известны и по Герону находим площадь:
       a          b          c                  p               2p                S
2.64575     2    2.64575    3.64575  7.2915026   2.4494897 
cos A = 0.3779645    cos B = 0.7142857    cos С = 0.377964473
Аrad = 1.1831996    Brad = 0.7751934      Сrad = 1.18319964
Аgr = 67.792346      Bgr = 44.415309         Сgr = 67.7923457