Геометрія. Задача У рівнобедренному трикутнику DEF , DE=EF, висота DH утворює з основою DF кут який дорівнює 15°. Знайдіть DE, якщо DH=4 см ів!

Из прямоугольного треугольника ABD
AD^2=AB^2+BD^2=9+16=25
AD=5
Площадь основания равна 2*площадь ABD=2*(3*4/2)=3*4=12
AD параллельно BC, следовательно параллельно B1C1, поэтому AD принадлежит плоскости AB1C1, и это прямая пересечения плоскости основания с плоскостью AB1C1
Пусть BE высота в треугольнике ABD
Тогда угол B1EB это угол между плоскостью основания и плоскостью AB1C1, так как BE перпендикулярно AD, B1E перпендикулярно AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Треугольник B1EB -- прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому B1B=BE
Чтобы найти высоту BE выразим площадь треугольника ABD двумя
площадь ABD = AB*BD/2 = AD*BE/2, отсюда
BE=AB*BD/AD=3*4/5=12/5=2,4

Площадь полной поверхности равна
2*площадь основания+площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности = периметр основания умножить на высоту
периметр основания = AB+BC+CD+AD=3+5+3+5=16
тогда площадь боковой поверхности 16*2,4=38,4 
площадь полной поверхности
2*12+38,4=24+38,4=62,4

Пирамида имеет в основании квадрат или правильный треугольник?

1. поверхность грани 96/4=24  длина стороны основания 24/4=6
апофема равна высоте к стороне основания, апофему обозначим а

0,5*6*а=24    а=24/3=8

2. поверхность 96/3=32   сторона основания 24/3=8
0,5*8*а=32   а=32/4=8

видим равенство апофем, более детально -
пусть n боковых граней, s = 96/n   сторона основания 24/n
0.5*24/n*a=96/n    12a=96   a=8

видим, что можно дать другие числа, а не 96 и 24 и  посчитать апофему, она не будет зависеть от числа сторон правильной пирамиды, а только от конкретных значений площади боковых граней и периметра основания.