Дан равнобедренный треугольник с основанием АC, ВН – высота треугольника, точка Р лежит на высоте ВН, точка М принадлежит стороне АВ, точка К лежит на стороне ВС, причем ВМ = ВК. Точки Р, М и К не лежат на одной прямой. Докажите, что угол ВМР= углу ВКР, угол КМР = углу РКМ. ​

Выразим у в уравнении прямой:

Параллельные линии имеют одинаковые коэффициенты перед иксом, поэтому запишем в общем случае уравнение такой касательной:

Суть касательных в том, что бы они имели 1 общую точку с графиком. Такие точки в нашем случае можно найти, если уравнение эллипса и уравнение касательной решить в системе, и при этом потребовать, что бы система имела ровно одно решение.

Подставим в первом уравнении вместо игрека второе уравнение, и теперь будем рассматривать отдельно только первое уравнение.

Здесь b идёт в качестве параметра. Для каждого решения этого уравнения (игрека) по второму уравнению можно найти икс (хотя здесь этого делать не нужно). Отсюда важный вывод - система имеет столько же решений, сколько это уравнение.

Найдём те значения параметра, при которых это уравнение будет иметь ровно одно решение.