Отрезки MP и EK пересекаются в их середине О. Докажите , что ME параллелен PK.

 Апофема грани, высота пирамиды и расстояние от основания высоты до основания апофемы образуют прямоугольный треугольник. из него найдем половину стороны основания. 

1/2 стороны основания= √(4а² - (а√2)²)=4а²-2а²=√2а² и равна а√2

а сторона основания равна 2а√2

Поскольку высота и половина основания равны в этом прямоугольном треугольнике, он - равнобедренный и угол между апофемой и средней линией квадрата в основании, что равносильно углу между боковой гранью и основанием,

равен 45 градусам.

Расстояние от центра основания пирамиды - перпендикуляр к апофеме. Поскольку угол между апофемой и плоскостью основания 45 градусов, получится равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой= половине стороны основания и катетами, равными половине апофемы = а.

Расстояние от центра основания до плоскости боковой грани =а

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
S основания =(2а√2)²=8а²
S боковая =4* 2а*а√2 =8а²√2
S полная =8а²√2+8а²=8а²(√2+1)

См чертеж.

ED перпендикулярно АВ, (ED = a*корень(3)/2; но для решения это не нужно:))

В ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ АВ проводим ЕF так, чтобы DF = a/2;

Треугольник BDF - прямоугольный  и DF перпендикулярна BF.

Действительно, DF перпендикулярна ЕF по построению, но DF лежит в плоскости, перпендикулярной АВ, то есть она перпендикулярна и АВ, а значит, и любой прямой в плоскости, проходящей через АВ и EF. 

Поэтому BF - искомая проекция BD на BFE  и её величину очень легко вычислить, если увидеть, что угол FBD равен 30 градусам (FD/BD = 1/2, малая диагональ равна стороне ромба).

ответ а*корень(3)/2;