Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см.Двугранный угол при основании равен 60 градусам.Найдите объём пирамиды.

Объяснение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой пирамиды,ее высотой и радиусом вписанной окружности:

Угол между апофемой и радиусом равен 60°,значит противоположный - 30°( угол между высотой пирамиды и ее основанием равен 90°)

Значит,т.к. радиус лежит напротив угла в 30°,то он равен половине гипотенузы и равен 4 см

Следовательео,высота пирамиды равна:

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен:

а=2r√3, где r- радиус вписанной окружности,a- сторона равностороннего треугольника.

Подставим значения и найдем сторону основания:

а=2*4*√3=8√3 см

Площадь основания равна:

(а^2√3)/4=

V=1/3*Площадь основания*высоту=1/3*4√3*48√3=192

Искомый угол α =  45°.

Объяснение:

Найдем координаты точки М. Это середина стороны АС.

Xm = (Xa+Xc)/2 = (3+1)/2 = 2. Ym = (Ya+Yc)/2 = (-2+2)/2 = 0.

Zm = (Za+Zc)/2 = (1+5)/2 = 3.  Итак, точка М(2;0;3).

Координаты вектора АС = {Xc-Xa;Yc-Ya;Zc-Za}. Или

АС = {1-3;2-(-2);5-1} = {-2;4;4}.  Аналогично:

Вектор ВМ = {2-3;0-0;3-2} = {-1;0;1}.

Угол между векторами определяется по формуле:

cosα=(Xa·Xb+Ya·Yb+Za·Zb)/[√(Xa²+Ya²+Za²)*√(Xb²+Yb²+Zb²)].

В нашем случае:

cosα=(-2·(-1)+4·0+4·1)/[√(4+16+16)*√(1+0+1)] = 6/(6√2)= √2/2.

Искомый угол α = arccos(√2/2) = 45°.

1. 123

2. 69, 69

Объяснение:

2 часть

1.

обозначим угол равный 123 градусам как угол 2

углы 1 и 2 - накрест лежащие углы при b параллельном c и секущей d

угол 1 = углу 2 ( по свойству параллельных прямых )

угол 1 = 123 градуса

ответ: 123

2.

угол А = углу С ( по св-ву углов равнобедренного треугольника )

угол В + угол А + угол С = 180 ( по теореме о сумме углов треугольника )

42 + 2 угла А = 180 ( тк А = С )

2 угла А = 180 - 42

2 угла А = 138

Угол А = 138/2

Угол А = 69

Значит угол С тоже = 69, тк А = С

ответ: 69, 69