В трапеции ABCD с основаниями AD больше BC точка пересечения ее диагоналей делит диагональ AC на отрезки длиной 6 и 3. Найдите площадь трапеции ABCD если площадь треугольника ABC равна 12

Пусть O - точка пересечения диагоналей.

Δ ВОС ~Δ AOD ( по двум углам)

ВС:AD=CO:OA=3:6

AD=2BC

S(трапеции)=(ВС+AD)·h/2=(BC+2BC)·h/2=3·(BC·h/2)=3S(ABC)=3·12=36

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. И является биссектрисой угла при вершине.
Пусть угол при основании х, тогда угол между высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника равен (х-15°).
Угол при вершине в  два раза больше 2(х-15°)

Сумма  углов  треугольника равна 180°
х+ х+2·(х-15°)=180°
4х=210°
х=52,5°
х-15°=52,5-15=37,5°
Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше, так как высота равнобедренного треугольника является также и биссектрисой.
ответ. углы при основании 52,5°; 52,5° и угол при вершине 75°

Обратим внимание на отношение сторон треугольника МКР. 
МК=5+10=15, и
КР:МР:МК=3:4:5. Это отношение сторон египетского треугольника, т.е. треугольник МКР - прямоугольный. 
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 
S МКР=МР*КР:2=54
В треугольниках МТР и КТР высоты из вершины Р равны, это высота всего треугольника МКР. 
Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания. 
⇒
Ѕ Δ МТР:Ѕ Δ МКР=5:15=1/3
Ѕ Δ МТР= 54*3=18 см²
Ѕ Δ ТРК=54-18=36 см²
------------
Если не учитывать, что треугольник МКР прямоугольный, можно сначала найти его площадь по формуле Герона. Она будет равна 54 см. 
А дальше решение аналогично данному выше.