1. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 24см. 2. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 4 см. 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке К. Найдите ВК, если АС = 8 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см.

AE - биссектриса A => BAE=EAD=a - обозначим

углы BKA=EKD как вертикальные

AKD+DKE = 180 как смежные

по т.синусов из треуг.BAK можно записать:

BK:sina = AB:sin(BKA)

по т.синусов из треуг.KAD можно записать:

KD:sina = AD:sinAKD = AD:sin(180-EKD) = AD:sin(EKD) = AD:sin(BKA)

т.к. sin(180-a) = sina в треугольнике

отсюда sin(BKA) = AD * sina / KD

BK:sina = AB:sin(BKA) => BK:sina = AB: (AD * sina / KD) = AB * KD / (AD * sina) =>

BK = AB * KD / AD

BK / KD = AB / AD = AB / BC (т.к. параллелограмм) = 4/9

смотри вложения, там шпора хорошая

1) по теореме синусов имеем:

а/sin a= b/sin b , тогда выразим sin b, получим :

sin b=b*sin a/ а , а=6, b=3, sin а=sin 150=0,5, подставим

sin b=3*0,5/6=0,25, тогда

b= arcsin 0.25=14,47 градусов - примерно 14 град 30 мин

2)по теореме синусов имеем     (g - 'это гамма, сторона с - это G)

а/sin a= G/sin g, sin g=sin 23гр30=0,3987          ,тогда

sin a=а*sin g / G, подставим

sin g=3,7*0,3987 / 5,9=0,25 , тогда

g = arcsin 0.25 = 14.47 градусов - примерно 14 град 30 мин