Человек стоит на круглой арене цирка. До ближайшей точки ее границы ему идут 15 шагов, до самой дальней - 27 шагов. Чему равен радиус арены?​

Пусть продолжение AM за точку M пересекает BC (точнее, продолжение этого отрезка за точку С) в точке K.
Тогда
1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5;
2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC;  поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции).
То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK.
Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).

Сделаем  рисунок, соразмерный данным в условии задачи размерам. 
Пусть в треугольник АВС вписана окружность с центром М, и вокруг него же описана окружность с центром О.
ОС- радиус описанной окружности и равен 25.
ВН - биссектриса, высота и медиана треугольника АВС.
ВН - срединный перпендикуляр к АС. 
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника, центр описанной - на пересечении срединных перпендикуляров  ⇒
центры вписанной  и описанной окружности лежат на ВН.
НС - половина основания АС и  равна 24.
Отношение катета и гипотенузы в треугольнике СОН - из троек Пифагора 7:24:25,  
ОН =7 ( можно проверить по т. Пифагора).
МК  - радиус окружности М, проведенный в точку касания. МК=МН
Треугольник ВКМ прямоугольный и подобен треугольнику АНВ ( общий острый угол при В).
АВ:ВМ=АН:КМ
ВН=ВО+ОН=25+7=32
АВ=√(ВН²+АН²)=40
КМ=ОН+ОМ=7+ОМ
ВМ=ВО-ОМ=25-ОМ
40:(25-ОМ)=24:(7+ОМ)
40*(7+ОМ)=24*(25+ОМ)
280+40*ОМ=24*25-24*ОМ
64 ОМ=320
ОМ=320:64=5
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника равно 5