Радиус основания конуса равен 3 см, а угол при вершине осевого сечения 60 градусов. Найдите площадь сферы, вписанной в конус.

Чтобы найти площадь сферы, вписанной в конус, нам сначала нужно вычислить радиус этой сферы.

1. Начнем с осей конуса. Так как у нас есть радиус основания конуса, мы можем использовать формулу для вычисления длины ортодромии (расстояния от вершины конуса до точки на оси, проходящей через центр основания). Для этого нам понадобится теорема Пифагора.

Длина ортодромии = √(высоты^2 + радиуса основания^2)

Мы знаем радиус основания (3 см), но высоту нам нужно найти. Высота конуса - это расстояние от вершины до центра основания. Если мы на рисуем перпендикуляр к основанию из вершины конуса, он разделит высоту на две части, каждая из которых будет равна радиусу основания.

Высота конуса = 2 * радиус основания = 2 * 3 см = 6 см

Теперь мы можем рассчитать длину ортодромии:

Длина ортодромии = √(6^2 + 3^2) = √45 см ≈ 6.71 см

2. Теперь, когда у нас есть длина ортодромии, мы можем использовать ее, чтобы найти радиус вписанной сферы. Радиус сферы - это расстояние от центра основания конуса до точки, касающейся данной сферы на оси.

Радиус вписанной сферы = (Длина ортодромии) / 3 = 6.71 см / 3 ≈ 2.24 см

3. Наконец, чтобы найти площадь сферы, нам нужно использовать формулу площади сферы:

Площадь сферы = 4π * (радиус сферы)^2

Подставляем значение радиуса сферы:

Площадь сферы = 4π * (2.24^2) ≈ 62.8 см^2

Итак, площадь сферы, вписанной в данный конус, примерно равна 62.8 см^2.