Великие умы Даны векторы a(-3; 0; 4) и b(1; -2; 2) а) Найдите вектор c= 1/2a - 3b б) Найдите (a + b)(a – b) в) Найдите косинус угла между векторами a и b

Везде над векторами, поставьте черточки или стрелки.

a(-3; 0; 4) и b(1; -2; 2)

а) Найдем вектор c= 1/2a - 3b=(-1.5;0;2)-(3; -6; 6)=(-4.5;6;-4)

б) Найдем (a + b)(a – b)=а²- b²=IaI²cos0°+IbI²*cos0°=25*1-9*1=16, модули посчитаны так IaI=√(9+16)=5; IbI=√(1+4+4)=3.

в) Найдем косинус угла между векторами a и b

a*b=-3*1+0*(-2)+4*2=8-3=5;

IaI=√(9+16)=5; IbI=√(1+4+4)=3

cosβ=5/(5*3)=1/3

а)

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Откуда CO - биссектриса ∠ACB; BO - биссектриса ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.

В ΔOBC: ∠POC - внешний, поэтому равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. ∠POC = ∠OBC+∠BCO.

∠PCA = ∠PBA, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу AP.

∠PBA = ∠PBC, как углы при биссектрисе. Так же ∠ACO = ∠BCO.

В ΔPOC:

∠PCO = ∠PCA+∠ACO = ∠PBC+∠BCO;

∠POC = ∠OBC+∠BCO;

∠PCO = ∠POC ⇒ ΔPOC - равнобедренный (OC - основание) значит, PO=PC, что и требовалось доказать.

б)

Пусть PH⊥AC и H∈AC, тогда PH=21. ∠ABC=120°. T - центр описанной окружности около ΔABC.

Четырёхугольник PABC - вписан в окружность, поэтому ∠APC+∠ABC=180°;

∠APC = 180°-120° = 60°.

∠PCA = ∠PBA = ∠ABC:2 = 120°:2 = 60°

В ΔPCA: ∠PCA=60°; ∠APC =60°; ΔPCA - равнобедренный, с углом при основании в 60°, поэтому это равносторонний треугольник.

Радиус описанной около ΔABC равен радиусу описанной около ΔPCA т.к. это одна окружность.

PH - высота правильного ΔPCA, а значит и медиана.

Центр описанной окружности около правильного треугольника является центром треугольника, в том числе и центром тяжести (т. пересечения медиан). Поэтому радиус описанной равен 2/3 от высоты.

PT = PH = 21·2/3 = 14

ответ: 14.

Т.к. углы равны КAD = KDA => AKD -- равнобедренный
треугольники AKВ и DKC равны по двум сторонам и углу между ними
(BA=CD --- т.к. квадрат, АК=KD --- т.к. AKD равнобедренный,
угол ВАК=CDK = 90-15 = 75 градусов)))
=> BK = KC 
понятно, что нужно было поискать треугольник с углами 30 и 60 градусов...
я продолжила сторону KD до пересечения с диагональю АС в точке Т --- получился треугольник АТD с углами 15, 45, 120...
провела ВТ...
угол ТАК=30=ТКА следовательно BT _|_ AK
и в треугольнике АТК эта прямая --- медиана,
значит и для АВК эта прямая ВТ и медиана и высота,
т.е. АВК --- равнобедренный и
АВ=ВК=а