В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см. Высота пирамиды равна 12 см. Найдите объем пирамиды.

ответ: 16√6

Объяснение: по формуле Герона найдем площадь основания пирамиды:

S= √8×(8-4)×(8-5)×(8-7) = 4√6

V = 1/3 Sh

V = 1/3 4√6×12 = 16√6

1) Двугранные углы при основании это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к стороне основания.
Один такой перпендикуляр - это апофема боковой грани, второй - ее проекция. Проекция перпендикулярна боковой стороне по теореме о трех перпендикулярах.
Из прямоугольного треугольника SOK
ОК=10·сos 30°=10·(√3/2)=5√3 см
DC=2·OK=10√3 см - длина стороны основания
S(основания)=DC²=(10√3)²=100·3=300 кв см

2) Угол наклона бокового ребра- угол между этим ребром и его проекцией.
Проекцией SB является ОB=DB/2
Треугольник SOB- прямоугольный равнобедренный
SO=H=6·sin 45°=6·(√2/2)=3√2 см - высота
OB=SO=3√2 см
 BD=2·OB=6√2  см- диагональ
АВ=ВС=СD=AD=6 см- сторона основания

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 2√ 3 см. Найти площадь и периметр шестиугольника. 

Периметр многоугольника равен сумме его сторон. 

Периметр правильного шестиугольника 

Р=6а

Правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников. 

Высота этих треугольников равна радиусу вписанной в шестиугольник окружности. (см. рис.)

ОН=r=2√3

АВ=АО=ОН:sin60º

АВ=2√3)*(√3):2=4 см

Р=4*6=24 см

Площадь многоугольника равна произведению его полупериметра на  радиус вписанной окружности.

S=P:2*r=(24:2)*(2√3)=24√3 см²