Основание пирамиды –треугольник со сторонами 10, 10 и 16 см. все боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под углом 45 0. Найдите высоту пирамиды.

Полупериметр треугольника равен^ p = (2*10+16)/2 = 18 см.

Высота h основания как равнобедренного треугольника равна:

h = √(10² - (16/2)²) = √(100 - 64) = √36 = 6  см.

Площадь треугольника основания равна: S = (1/2)*16*6 = 48 см².

Радиус вписанной окружности равен: r = S/p = 48/18 = (8/3) см.

Высота пирамиды - это катет в прямоугольном треугольнике, с гипотенузой - апофемой и вторым катетом -радиусом вписанной окружности.

Так как по заданию боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под углом 45°, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности.

ответ: Н = (8/3)см.

Вариант 1).  Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ  АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных  равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.

                                               *  *  *

Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)

Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.

Квадрат касается  сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.

 r=8:2=4 см

Пусть  центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н. 

Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)

Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2

По т.Пифагора 

ОH²=OC²-HC²64-32=32

Обозначим точку касания квадрата и сферы Р. 

Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см

При пересечении двух прямых образовывается 2 пары равных между собой углов.
Теперь представим сумму трех углов - это прибавляют два равных угла и один, смежный с ними. А затем, сравнивая эту сумму с четвертым углом, отнимают такой же смежный угол. Получается, что остается сумма двух равных углов, и она равна 240°.
∠1 + ∠2 +∠3 - ∠4 = 240°
Пусть равными будут ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4. Сделаем замены в равенстве.
∠1 + ∠1 + ∠3 - ∠3 = 240°
2 ∠1 = 240°
∠1 = 240° : 2 = 60°
∠2 = 60°
∠3 = 180° - 60° = 120°
∠4 = ∠3 = 120°

ответ. 60°, 60°, 120°, 120°